Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

240 Division V. Chapitre 21. § 94.Le groupe (15) est engendré par trois transformations infinitésimalesde la forme :(17)⎧⎪⎨⎪⎩(α k1 x + α k2 y + α k3 z + · · ·) p++ (β k1 x + β k2 y + β k3 z + · · ·) q++ (γ k1 x + γ k2 y + γ k3 z + · · ·) r(k = 1,2, 3),où les α, β, γ désignent des constantes et où les termes supprimés sontd’un ordre supérieur par rapport à x, y, z. Le groupe à six paramètres detous les mouvements contient encore, hormis les transformations infinitésimales(17), trois transformations de la forme :(18) p + · · · , q + · · · , r + · · · .D’un autre côté, le groupe (16’) est le groupe réduit associé augroupe (17), et ses transformations infinitésimales * :(19)⎧⎪⎨L k f = (α k1 x+α k2 y + α k3 z) p + (β k1 x + β k2 y + β k3 z) q++ (γ k1 x + γ k2 y + γ k3 z) r⎪⎩(k = 1,2, 3)proviennent de (17) lorsqu’on supprime tous les termes d’ordre supérieur,et donc elles ne sont pas nécessairement indépendantes les unesdes autres. Remarquons en outre (cf.le Tome I, p. 606), qu’en tenantcompte des hypothèses posées, les transformations infinitésimales :(20) p, q, r, L 1 f, L 2 f, L 3 f,* Nous ne voulons pas passer sous silence le fait que Monsieur de Helmholtzopère avec les transformations infinitésimales du groupe linéaire homogène (16’), eton peut même dire qu’il considère, quoique de manière inconsciente, les groupes àun paramètre qui sont engendrés par certaines de ces transformations infinitésimales.Néanmoins, on ne se trouve chez lui en aucune façon le concept général de transformationinfinitésimale, et encore moins le concept général de groupe à un paramètre.