Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Critique des recherches helmholtziennes. 253d’autres termes : nos Axiomes I . . . IV suffisent effectivement à caractériserces trois sortes de mouvements.§ 96.Quelles conclusions peut-on tirer des axiomes helmholtziens ?Nous voulons à présent faire complètement abstraction des recherchesque Monsieur de Helmholtz lui-même a engagées sur la basede ses axiomes et nous voulons établir, comme nous l’avons déjà annoncéa la page 220, quelles conclusions peuvent être tirées des axiomeshelmholtziens en eux-mêmes. Nous nous limitons donc à nouveau àl’espace ordinaire trois fois étendu.Dans le § 93, nous avons indiqué comment les axiomes helmholtzienspeuvent être formulés, quand on les interprète de la façon qui a étéexposée au § 92 et lorsqu’on emploie de surcroît les concepts et les manièresde s’exprimer de la théorie des groupes. Il nous reste maintenantà voir quels sont les groupes de l’espace trois fois étendu qui satisfontles exigences posées dans le § 93.Chacun des groupes requis est réel, fini et continu, et relativement àson action, deux points ont un et un seul invariant, tandis qu’un nombrede points supérieur à deux n’a pas d’invariant essentiel. Mais puisque,d’après le Théorème 37 p. 215, chaque groupe de cette espèce est semblable,via une transformation ponctuelle réelle, à l’un des groupes quisont rassemblés à la page 215, il ne nous reste alors qu’à exclure, parmices groupes-là, ceux qui ne correspondent pas aux exigences restantesdu § 93.Ces exigences restantes reviennent toutes à ce que nos groupes,à l’intérieur d’une certaine région finie de l’espace trois fois étendu,doivent posséder certaines propriétés. Puisque l’origine des coordonnéesest un point en position générale pour tous les groupes de lapage 215, nous pouvons clairement admettre que la région en questionest constituée de tous les points réels qui se trouvent dans un certainvoisinage de l’origine des coordonnées. Par conséquent, nous devonsseulement rechercher encore, parmi les groupes de la page 215, quelssont ceux qui possèdent les propriétés suivantes :Premièrement, l’invariant : J ( x 1 , y 1 , z 1 ; x 2 , y 2 , z 2)de deux pointsdoit être constitué de telle sorte que la relation :(33) J ( x 1 , y 1 , z 1 : x 2 , y 2 , z 2)= J(x01 , y 0 1, z 0 1; x 0 2, y 0 2, z 0 2),