Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 209Théorème 36, p. 204, grâce à une transformation réelle ou complexe del’espace des x, y, z.Les groupes énumérés par le Théorème 36 se rangent dans deuxclasses. Chaque groupe de la première classe 3 laisse invariante uneéquation du second degré :(55)α 11 dx 2 + α 22 dy 2 + α 33 dz 2 + 2α 12 dxdy + 2α 23 dydz + 2α 31 dzdx = 0,où les α sont des fonctions de x, y, z et où le déterminant correspondantne s’annule pas identiquement ; en outre ces groupes sont constitués detelle sorte que les ∞ 2 éléments linéaires passant par chaque point fixé enposition générale sont transformés par une action à trois paramètres. Lesgroupes de la deuxième classe, i.e. les groupes [1] . . . [4], se distinguenten ce que chacun d’entre eux laisse invariante la famille des ∞ 2 droites :x = const., y = const., sans stabiliser aucune autre famille de ∞ 2courbes.Si un groupe réel à six paramètres est semblable à l’un des groupesqui appartient à la première de nos deux classes, alors il doit évidemmentlaisser invariante une équation de la forme (55) dans laquelleles α sont des fonctions réelles de x, y, z et dont le déterminant nes’annule pas identiquement ; et de plus, les ∞ 2 éléments linéaires passantpar chaque point réel fixé en position générale doivent encore êtretransformés par une action à trois paramètres. Mais d’après le Théorème35, p. 391 4 , chaque groupe réel à six paramètres de cette espèceest semblable, par une transformation ponctuelle réelle, ou bienau groupe des mouvements euclidiens, ou bien au groupe projectif réelà six paramètres qui laisse invariants le volume ainsi qu’une coniquenon-dégénérée infiniment éloignée, ou bien encore au groupe projectifà six paramètres d’une surface du second degré non-dégénérée, qui estreprésentée par une équation réelle entre x, y et z ; ici cependant, on3 — à savoir, les deux groupes imprimitifs (22) et (23) —4 Ce théorème établit que si un groupe réel continu dans un espace à n > 2variables x 1 , . . .,x n laisse invariante une équation réelle :1...n∑k, νf kν (x 1 , . . .,x n )dx k dx ν = 0dont le déterminant ne s’annule pas identiquement, et si en outre, il est constitué detelle sorte qu’il transforme de la manière la plus générale possible les ∞ n−1 élémentslinéaires qui passent par un tout point fixé en position générale, alors ce groupe possèdesoit (n+1)(n+2)1·2, soit n(n+1)1·2, soit n(n+1)1·2paramètres. Dans chacun des trois cas,les groupes sont décrit par un système de générateurs explicites.