Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 145d’un groupe à un paramètre λ 1 X 1 (f) + · · · + λ r X r (f), où il est entenduque λ 1 , . . ., λ r sont des constantes appropriées. Si nous posonsen particulier a k = a 0 k , nous obtenons x i = x i , donc nous voyons que lafamille des ∞ r transformations x ′ i = f i (x, a) coïncide, dans un certainvoisinage de a 0 1, . . .,a 0 r, avec la famille des transformations :r∑x ′ i(8)= x i + λ k ξ ki (x) + · · ·k=1(i = 1 ··· n).Une fois ce point atteint, la trame archaïque de l’argumentationspéculative se résume à opérer une transsubstantiation, contagieuse ethomogénéisante, des types de transformations. En effet, le Théorème 9p. 133 montrait non pas que f ◦ f = f ou que exp ◦ exp = exp, maisseulement qu’il y a une stabilité par composition entre transformationsd’un type hétérogène :f ◦ exp ≡ f,ou encore, avec de plus amples détails, que l’on a :(x ′ = exp ( λ X ) ) ((x) x ′ = f(x; a)(∗)(x = f(x; a)a near a 0 )◦λ near 0≡a near aMais si on applique maintenant cet énoncé au paramètre a := a 0 considérécomme initial lors de la résolution du système complet Ω 1 (F) =· · · = Ω r (f) = 0, alors puisque par construction ce paramètre a 0 produitla transformation identique : x = f(x; a 0 ) = x, il en découle quel’on obtient — si l’on pose donc a = a 0 dans (∗) — l’identité :(x ′ = exp ( λ X ) ) ( )(x) x ′ = f(x; a)≡,λ near 0 a near a 0une coïncidence d’essence que l’on peut réexprimer dans le langagearchaïque comme :exp ≡ f.On peut donc alors remplacer, dans l’identité de composition hétérogènef ◦exp ≡ f, non seulement exp par f pour obtenir une identité decomposition homogène : f ◦ f = f, mais aussi f par exp pour obtenirune deuxième identité de composition équivalente : exp ◦ exp, elle aussihomogène. Le ré-engendrement de la stabilité par composition repose,à la fin de la démonstration, sur le passage à une communauté de types.Voici maintenant les arguments tels qu’écrits dans la langue deEngel. Si nous choisissons a 1 , . . .,a r arbitrairement dans un certain).