Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

78 2.9. L’approche infinitésimale systématique de Engel et de LieCette dernière étape de la démonstration, que Helmholtz n’a absolumentpas traitée, comme nous l’avons vu, Lie l’a complétée en détail,en appliquant les résultats de son traité.Théorème de Lie. (cf. p. 268) Si un groupe réel continu de l’espace àtrois dimensions est transitif à six paramètres et si le groupe d’isotropielinéarisée de tout point est formé des rotations euclidiennes, alorsce groupe est équivalent, via une transformation ponctuelle réelle decet espace, soit au groupe des déplacements euclidiens de l’espace des(x, y, z) :p, q, r, xq − yp, xr − zp, yr − zq,soit à l’un des deux groupes à six paramètres de mouvements non-euclidiens:x 2 p 1 − x 1 p 2 , x 3 p 1 − x 1 p 3 , x 3 p 2 − x 2 p 3 ,x 1(x1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3)± p1 , x 1(x1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3)± p2 ,x 1(x1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3)± p3 ,par lequel la surface imaginaire : x 2 1 +x2 2 +x2 3 ±1 = 0 reste invariante46 .46 On vérifie en effet aisément que les trois premières transformations infinitésimalesannulent identiquement l’équation, tandis que les trois dernières reproduisentl’équation au facteur 2x k près, k = 1, 2, 3.