Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

112 3.6. Champs de vecteurs et groupes à un paramètredes transformations transfère la théorie des groupes vers l’algèbre, ettout d’abord, vers l’algèbre linéaire. On peut donc maintenant se demanderquelle doit être l’équivalence entre groupe à r paramètres et systèmede r transformations infinitésimales mutuellement indépendantesX 1 , . . .,X r . Ici, l’Un va provoquer l’imprévu du Multiple, c’est-à-direforcer la genèse de concepts inattendus. Mais pour l’instant, poursuivonsl’étude des groupes à un seul paramètre.Engel et Lie écrivent les champs de vecteurs X — qu’ils appellentsystématiquement transformations infinitésimales — toujours sous laforme «Xf », non pas donc comme opérateur abstrait de dérivation,mais comme action effective sur une fonction-test toujours notée f =f(x 1 , . . .,x n ). L’action concrète de X sur f consiste bien entendu à lefaire agir comme dérivation :Xf =n∑i=1ξ i (x) ∂f∂x i.Eu égard à l’équivalence ontologique sus-mentionnée, il est naturel dese demander maintenant (scholie) quelle est l’action d’un groupe finià un paramètre sur les fonctions. Si donc f = f(x 1 , . . .,x n ) est unefonction analytique arbitraire, si l’on compose f avec le flot du groupeà un paramètre :f ′ := f(x ′ 1, . . .,x ′ n) = f ( x ′ 1(x; t), . . .,x ′ n(x; t) ) ,et si l’on développe en série entière cette composition par rapport à t :f ′ = ( f ′) + ( t df ′t=0 1! dt)t=0 + ( t2 d 2 f ′2! dt)t=0 + · · · ,2on doit calculer les quotients différentiels df ′, d2 f ′, . . ., ce qui ne pose àdt dt 2vrai dire aucune difficulté :⎡df ′ n∑⎢ dt = dx ′ i ∂f ′ n∑dt ∂x ′ = ξ ′ ∂f ′ii=1 i∂x ′ = X ′ (f ′ ),i=1 i⎣d 2 f ′dt 2 = X′( df ′ )= X ′( X ′ (f ′ ) ) ,dtet ainsi de suite. En posant t = 0, chaque x ′ i devient x i , la fonctionf ′ devient f et X ′ (f ′ ) devient X(f), et ainsi de suite, et grâce à cesobservations, on obtient le développement recherché :(4)f(x ′ 1, . . ., x ′ n) = f(x 1 , . . .,x n ) + t tkX(f) + · · · +1! k! Xk (f) + · · ·= ∑ (tX) kk0(f) = exp(tX)(f),k!