Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 22.Première solution du problème de Riemann-Helmholtz.Le problème de Riemann-Helmholtz, comme nous l’avons formuléà la page 163, demande d’indiquer des propriétés qui sont communesà la famille de mouvements euclidiens et aux deux familles de mouvementsnon-euclidiens et grâce auxquelles ces trois familles se distinguentde toutes les autres familles possibles de mouvements.Comme ce problème est en fait indéterminé, nous le spécifions plusprécisément dès le début par l’exigence que l’ensemble des propriétésà indiquer doivent non seulement être suffisantes pour caractériser nostrois familles, mais encore être nécessaires, c’est-à-dire que ces troisfamilles-là de mouvements ne doivent pas seulement être caractériséespar une fraction des propriétés en question. Mais cependant, même souscette version déterminée, le problème admet encore des solutions trèsdiverses, puisque dans le choix des propriétés requises, on n’est parailleurs soumis à aucune limitation supplémentaire.Parmi les propriétés qui sont communes à nos trois familles demouvements, il s’en trouve une qui nous touche de près, à savoir quechacune des trois familles constitue un groupe réel continu, dont lestransformations sont inverses l’une de l’autre par paires. Nous supposonsalors depuis le début cette propriété comme quelque chose dedonné * , et nous devons maintenant simplement demander encore : Parquelles propriétés peut-on distinguer le groupe des mouvements euclidienset les deux groupes de mouvements non-euclidiens parmi tousles groupes réels continus possédant des transformations inverses parpaire ? Pour alléger le discours, nous supprimerons toujours dans la* Nous ne voulons pas passer sous silence le fait qu’il est tout à fait possible d’établird’autres exigences dont découlent cette propriété de type « groupe ». Mais on peutbien sûr soutenir qu’il est conforme à la nature des choses d’établir dès le début cesexigences quant à la nature des groupes. Dans le concept de mouvement se trouve eneffet le fait qu’on peut accomplir deux mouvements l’un après l’autre, et il découlede là immédiatement que l’ensemble des transformations qui représentent des changementsde lieu possibles par mouvement forme un groupe. Nous ajoutons seulementencore l’hypothèse que le groupe est continu et qu’il est constitué de transformationsinverses l’une de l’autre. Du reste, dans le Chapitre 21, nous avons déjà donné unesolution qui ne fait pas usage de cette dernière propriété des groupes.