Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Quatrième de couverture :Sophus Lie, Friedrich Engelet le problème de Riemann-HelmholtzEst-il possible de caractériser l’espace euclidien tridimensionnelqui s’offre si immédiatement à l’intuition physique au moyend’axiomes mathématiques simples et naturels ? Plus généralement, estilpossible de caractériser les espaces de Bolyai-Lobatchevskiĭ à courbureconstante négative, ainsi que les espaces de Riemann à courbureconstante positive, à l’exclusion de toute autre géométrie contraire àune intuition directe ?À une époque (1830–50) où l’émergence nécessaire des géométriesdites non-euclidiennes devenait incontestable, c’est Riemann quia soulevé cette question profonde et difficile dans son discours d’habilitation(1854), sans chercher, toutefois, à la résoudre complètement.Helmholtz (1868) l’interprétera en conceptualisant le mouvement descorps dans l’espace et il tentera d’établir rigoureusement que le caractèremétrique et localement homogène d’un espace se déduit d’axiomesde mobilité maximale pour des corps rigides.Mais il fallut attendre les travaux de Sophus Lie, et notammentla Theorie der Transformationsgruppen (2100 pages, 1888–93) écriteen collaboration avec Friedrich Engel, pour qu’une solution complèteet rigoureuse soit apportée à ce fascinant problème, à la fois au planlocal et au plan global. L’introduction historique, philosophique et mathématiqueainsi que la traduction que nous proposons ici aspirent àfaire connaître un aspect de l’œuvre monumentale de Sophus Lie quidemeure essentiellement peu évoqué au sein de la philosophie traditionnellede la géométrie.Joël Merker, agrégé de mathématiques et de philosophie, spécialisted’analyse et de géométrie à plusieurs variables réelles ou complexes,chercheur au CNRS - Département de Mathématiques et Applications,École Normale Supérieure.