Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 191on obtient que la constante c doit aussi s’annuler.Finalement, pour déterminer encore ϕ 6 — qui ne dépend naturellementque de z —, formons les crochets :[xq + r, yp + ϕ6 (z) r ] = xp − yq + ϕ ′ 6 (z) r[xp − yq − 2zr, yp + ϕ6 (z) r ] = −2yp − 2{zϕ ′ 6 (z) − ϕ 6(z)} r,d’où il découle :ϕ ′ 6 (z) = −2z, z ϕ′ 6 (z) = 2 ϕ 6(z) = −2z 2 .Par conséquent, nous trouvons que les transformations infinitésimalesde notre groupe peuvent recevoir la forme simple :{p, q, xq + r, yq + zr, xp − zr(28)yp − z 2 r.Accessoirement, on peut remarquer que ce groupe apparaît aussi parprolongement 18 [durch Hinzunahme] (cf.p. 165) du groupe linéaire généraldu plan :p, q, xq, yq, xp, yp18 Un difféomorphisme local (x, y) ↦→ (x, y) = ( x(x, y), y(x, y) ) du plan qui estproche de l’identité transforme un graphe {y = y(x)} en un autre graphe {y = y(x) }et transforme aussi les dérivées y x du graphe en :y x := dy dx · ∂y(x, y(x))/∂x=dx dx · ∂x(x, y(x))/∂x = x x + y x y y.x x + y x x yEn appliquant cette formule au groupe local à un paramètre :(x, y) ↦−→ exp(tX)(x, y) =: ( x(x, y, t), y(x, y, t) )engendré par une transformation infinitésimale quelconque X = ξ(x, y)p+ζ(x, y)q,et en la différentiant par rapport à t en t = 0, on obtient par le calcul ([124, 11, 125,109]) :d ∣t=0= η x + [η y − ξ x ] y x + [−ξ y ](y x ) 2 .dt y xAutrement dit, si l’on introduit le prolongement X (1) de X aux jets d’ordre 1 qui estla transformation infinitésimale en les trois variables (x, y, y x ) définie par :X (1) := ξ(x, y) ∂∂∂x+ η(x, y)∂y + ( η x + [η y − ξ x ]y x + [−ξ y ](y x ) 2) ∂∂y x,alors on réobtient :exp ( tX (1)) (x, y, y x ) = ( x(x, y, t), y(x, y, t), y x (x, y, y x , t) )Les six transformations infinitésimales (28) sont donc bien des prolongements, à l’espace(x, y, z ≡ y x ) des jets d’ordre 1, des six transformations p, q, xq, yq, xp etyp.