Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

64 2.6. Critique par Lie de l’erreur principale de Helhmoltztous les termes d’ordre 2, ce qui donne un groupe linéaire homogènequ’ils écrivent quant à eux 26 :⎧⎪⎨x ′ = λ 1 x + λ 2 y + λ 3 zy ′ = µ 1 x + µ 2 y + µ 3 z⎪⎩z ′ = ν 1 x + ν 2 y + ν 3 z.Ce sous-groupe du groupe linéaire homogène complet GL 3 (R) indiquealors comment sont transformées les droites (infiniment petites) passantpar l’origine, lorsque le corps rigide pivote de toutes les manières possiblesautour de son point fixe.Ce groupe linéaire agissant au niveau infinitésimal constitue unedécouverte importante. En effet, la considération de telles transformationslinéarisées (et projectivisées) en un point fixe constitue l’unedes plus idées les plus efficientes que Lie a mises au point afin declassifier groupes et sous-groupes de transformations (voir le Chapitre5), et l’on peut s’imaginer que les considérations embryonnaireset « balbutiantes » de Helmholtz ont pu constituer pour Lie une sourceconstante d’inspiration et de défi, un point d’orgue à atteindre, ce quiexpliquerait peut-être la raison pour laquelle le chapitre sur le problèmede Riemann-Helmholtz a été placé à l’extrême fin de la Theorie derTransformationsgruppen 27 .Ainsi, comme il l’a annoncé au tout début de son exposition mathématique,Helmholtz applique « seulement » ses hypothèses à des pointsinfiniment proches les uns des autres, comme si cette exigence semblaiten demander moins que lorsqu’on les applique à un domaine d’extensionfini, puisque la portée des axiomes serait de la sorte restreinte à undomaine d’extension encore plus petit. Toutefois, la circulation imparfaiteentre l’infinitésimal et le fini va réserver des surprises à l’explorationrigoureuse en termes de contre-exemples.2.6. Critique par Lie de l’erreur principale de Helhmoltz. Engel etLie interprètent les exigences helmholtziennes en termes de théorie desgroupes continus de transformations 28 . En notant p = ∂∂x , q := ∂ ∂y et26 — sous-groupe à trois paramètres de GL 3 (R) —27 L’ultime Division VI du Volume III [42] de la Theorie der Transformationsgruppencomprend cinq chapitres consacrés à des considérations générales, historiques etméthodologiques qui reviennent en arrière sur l’ensemble de l’ouvrage.28 Le lecteur est renvoyé au Chapitre 4 et au § 85 p. 167 pour une présentation deséléments fondamentaux de la théorie ; sans cela, il peut aussi se reporter directement