Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 85générique d’une matrice est en toute circonstance inférieur au nombrede ses lignes.En toute généralité, si ρ ∞ désigne le rang générique de JacF ∞ et sion définit le sous-ensemble D ∞ des zéros communs à tous ses mineursde taille ρ ∞ × ρ ∞ :∣∂F i 1α 1∂F i 1α 1∂a jρ∞(a)∂a j1(a) · · ··· · · · ··∂F iρ∞αρ∞∂a j1(a) · · ·∂F iρ∞αρ∞∂a jρ∞(a)alors D ∞ est un sous-ensemble analytique propre de l’espace des paramètresa, et pour tout paramètre a 0 qui n’appartient pas à ce sousensemblede paramètres « exceptionnels », on peut tout d’abord relocaliserles considérations dans un petit voisinage convenable 4 de a 0 ,et ensuite, grâce à une application du théorème du rang constant, onpeut trouver un difféomorphisme approprié de l’espace des paramètresa ↦→ a = a(a) fixant a 0 , ce qui donne de nouvelles équations de transformations:x ′ i = f (i x1 , . . .,x n ; a 1 (a), . . .,a r (a) )( )=: f i x1 , . . .,x n ; a 1 , . . .,a r (i = 1 ···n),de manière à ce que les nouveaux coefficients F i α(a)obtenus en développantles nouvelles fonctions f i en série entière par rapport à (x −x 0 )deviennent absolument indépendants des r − ρ ∞ derniers paramètresa ρ∞+1, . . .,a r , qui sont ainsi devenus visiblement superflus. Sans démonstration(voir [110]), formulons l’énoncé rigoureux de réduction.Théorème. Localement au voisinage de tout paramètre générique a 0en lequel l’application infinie des coefficients a ↦→ F ∞ (a) est de rangmaximal, constant, et égal à son rang générique ρ ∞ , il existe à lafois un changement local de paramètres a ↦→ ( b 1 (a), . . ., b ρ∞ (a) ) =:(b 1 , . . .,b ρ∞ ) qui fait baisser le nombre des paramètres de r à ρ ∞ , etdes nouvelles équations de transformations :( )x ′ i = g i x; b1 , . . .,b ρ∞ (i = 1 ···n)∣4 Ici et dans la ce qui va suivre, ce qui peut être dit au voisinage des paramètresexceptionnels qui appartiennent à D ∞ requerrait des outils sophistiqués de la théoriedes singularités qui sont au-delà de la portée du présent travail.