Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 2 :La mobilité helmholtzienne de la rigidité2.1. Le problème de Riemann-Helmholtz. Dans le plan de son Habilitationsvortrag,après avoir exprimé son intention d’élaborer un conceptgénéral de multiplicité continue, Riemann annonce qu’il se préoccuperad’appliquer ces considérations abstraites à l’« espace ». Chez lesgéomètres du 19 ème siècle, ce nom est strictement réservé à l’« espacephysique réel » tridimensionnel et euclidien.Rappelons notamment qu’au début des années 1820, Gauss aété conduit à mesurer le très grand triangle géodésique (et terrestre)Brocken – Hohehagen – Inselberg dans la campagne du royaume deHannovre afin de « tester » la nature euclidienne de l’espace physique([145, 147]). À cette époque-là, Gauss venait d’être nommé conseillerscientifique des gouvernements de Hanovre (dont dépendait Göttingen)et du Danemark pour l’établissement géodésique du cadastre, et il étaitdéjà en pleine possession de sa théorie (extrinsèque) des surfaces. AussiRiemann sait-il pertinemment que les propriétés par lesquelles l’espacephysique se distingue de toute autre multiplicité abstraite à trois dimensionsne peuvent en effet être empruntées qu’à l’expérience.De là surgit le problème de rechercher les faits les plus simples aumoyen desquels puissent s’établir les rapports métriques de l’espace,problème qui, par la nature même de l’objet, n’est pas complètementdéterminé ; car on peut indiquer plusieurs systèmes de faits simples,suffisants pour la détermination des rapports métriques de l’espace.[133], p. 281.Ainsi, pour décider quelle est « la » géométrie de l’« espace », l’expérienceest susceptible de trancher, mais à l’avance, par des considérationsde géométrie pure, on peut rechercher mathématiquementles hypothèses les plus naturelles et les plus simples qui puissentcaractériser complètement cette notion d’« espace physique », notionqui semble nous être donné dans l’évidence de son euclidéanité présente.C’est donc dans le passage cité à l’instant, extrait du plan del’Habilitationsvortrag, qu’est formulé (implicitement) le célèbre :