Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

44 1.19. Courbure sectionnelle de Riemann-Christoffel-Lipschitzet elle possède l’avantage remarquable, par rapport aux formules précédentes,de ne pas contraindre à distinguer plusieurs cas 84 :ds 2 =dx 2 1 + dx2 2[1 +κ4 (x2 1 + x 2 2) ] 2 .Dans son Habilitationsvortrag, la seule formule significative queRiemann osera signaler à son auditoire d’universitaires issus de tousles horizons sera la généralisation évidente de cette expression à ladimension n quelconque :ds 2 =dx 2 1 + · · · + dx 2 n[1 +κ4 (x2 1 + · · · + x2 n )] 2 ,dans laquelle on peut immédiatement relire la formule précédente enégalant à zéro (n − 2) variables x i .1.19. Courbure sectionnelle de Riemann-Christoffel-Lipschitz.Question : en passant à la dimension quelconque n 2 et pour desmétriques quelconques, pourquoi Riemann a-t-il envisagé de prolongerla théorie de Gauss sous l’angle de la courbure dite sectionnelle,c’est-à-dire en sectionnant les multiplicité de dimension n par dessurfaces de dimension 2 ? La Commentatio (cf. note p. 5) fournit uneréponse qui témoigne clairement de l’enracinement de cette genèsedans la matrice du tridimensionnel.L’expression √∑ b ι,ι ′ ds ι ds ι ′ peut être envisagée comme l’élémentlinéaire dans un espace généralisé de n dimensions transcendantnotre intuition. Si dans cet espace on trace toutes les lignes les pluscourtes issues du point (s 1 , s 2 , . . . , s n ), dans lesquelles les élémentsinitiaux de variation des s sont comme les rapports αds 1 +βδs 1 : αds 2 +βδs 2 : · · · : αds n + βδs n , où α et β désignent des quantités arbitraires,alors ces lignes constituent une surface qui peut être développée dansl’espace de notre intuition commune 85 . [132], p. 382.84 Lorsque le ds 2 est représenté en coordonnées isothermes sous la forme normalisée: ds 2 = λ 2 (u, v) [ du 2 + dv 2] , la courbure est donnée par une formule que Gausspossédait déjà en 1822 :κ = κ(u, v) = − 1 λ 2 ( ∂ 2 log λ∂u 2)+ ∂2 log λ∂v 2 ,et qui apparaissait dans son Copenhagen Preisschrift sur les applications conformesqui lui a valu le prix de l’Académie de Copenhague ([90]). L’application de cetteformule générale dans le cas où 1 λ 2 = 1 4 +κ(x2 1+x 2 2) fournit effectivement la constanteκ, quel que soit le nombre réel κ fixé à l’avance.