Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 2. La mobilité helmholtzienne de la rigidité 63une conséquence de la rigidité — et il écrit la transformation correspondanteentre différentielles, donnée par une matrice jacobienne. Ensuite,il fixe le point (r, s, t) et il considère seulement toutes les transformationsencore possibles du corps rigide qui envoient ce point (r, s, t) surun point de coordonnées (ρ, σ, τ) satisfaisant r = ρ, s = σ, t = τ. Dansce cas, la transformation entre les différentielles de coordonnées 23 :⎧⎪⎨dr = A 0 dρ + B 0 dσ + C 0 dτ(1)ds = A 1 dρ + B 1 dσ + C 1 dτ⎪⎩dt = A 2 dρ + B 2 dσ + C 2 dτincorpore neuf fonctions A n , B n , C n (n = 0, 1, 2) qui dépendent encorede trois paramètres arbitraires 24 que Helmholtz note p ′ , p ′′ et p ′′′ . Ceséquations montrent comment sont transformés les éléments infinitésimauxbasés au point fixé.Dans ces trois équations (1), Helmholtz introduit alors les notations:dr = ε x dρ = ε ξds = ε ydσ = ε υdt = ε z dτ = ε ζ,où ε est une quantité infinitésimale que l’on peut visiblement supprimeren divisant de part et d’autre de chaque équation. De cette manière, onenvisage les transformations dans l’infiniment petit comme des transformationslinéaires agissant dans le domaine fini 25 :⎧⎪⎨x = A 0 ξ + B 0 υ + C 0 ζ(2)y = A 1 ξ + B 1 υ + C 1 ζ⎪⎩z = A 2 ξ + B 2 υ + C 2 ζ.D’après Engel et Lie (§ 94 p. 237 ci-dessous), lorsque le pointfixé est rapporté à l’origine d’un système de coordonnées (x, y, z), leraisonnement de Helmholtz revient à effectuer un développement ensérie entière par rapport aux trois variables x, y et z, mais en supprimant23 En parallèle, on se reportera avantageusement à la discussion qu’en font Engelet Lie au début du § 94 p. 237, notamment aux équations (15), (16) et (16’).24 Dans la théorie de Lie, cette donnée correspond essentiellement à considérer lesous-groupe d’isotropie d’un point (x 0 , y 0 , z 0 ) fixé.25 La division par ε agit comme un zoom infiniment puissant au point considéré.La matrice 3 ×3 ainsi obtenue de fonctions de p ′ , p ′′ , p ′′′ est localement inversible parconstruction.