Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

306 Division V. Chapitre 23. § 103.l’autre [gleichberechtigt sind], ou sont dualistiques l’un de l’autre ; nous pouvonsdonc supposer que G ′ provient par prolongation du groupe linéaire général:p, r, xp, zp, xr, zrdu plan, et ainsi, que dans les variables choisies x,y,z, il possède la forme :p, r, xp − yq, zp − y 2 q, xr + q, zr + yq.Mais nous avons déjà démontré aux pages 191 sq. au sujet de ce groupe querelativement à lui, deux points finiment éloignés l’un de l’autre n’ont aucun invariant.Ainsi, on obtient à nouveau qu’un groupe G ′ de la nature ici demandéen’existe pas du tout.Il reste encore à traiter le premier des deux cas distingués à lapage 303.Si ce cas se produit, les ∞ 2 éléments linéaires passant par chaquepoint réel fixé en position générale sont transformés par l’action d’ungroupe à trois paramètres, et pour préciser, de telle façon qu’un cônenon-dégénéré du second degré constitué d’éléments linéaires reste invariant.Par conséquent, G laisse invariante une équation réelle de laforme :1,2,3∑µ να µν (x 1 , x 2 , x 3 ) dx µ dx ν = 0,dont le déterminant ne s’annule pas. Maintenant, puisque notre G est àsix paramètres, on obtient, grâce au Théorème 35 p. 391, qu’il peut êtretransformé, via une transformation ponctuelle réelle de R 3 , soit en legroupe des mouvements euclidiens, soit en l’un des deux groupes desmouvements non-euclidiens, soit en l’un des deux groupes suivants :p 1 , p 2 , p 3 , x 1 p 2 − x 2 p 1 , x 2 p 3 + x 3 p 2 , x 3 p 1 + x 1 p 3 ;p 1 + x 1 U 1 , p 2 + x 2 U 2 , p 3 − x 3 U 3 ,x 1 p 2 − x 2 p 1 , x 2 p 3 + x 3 p 2 , x 3 p 1 + x 1 p 3 .Cependant, les deux derniers groupes ne satisfont pas notre Axiome III,car pour ces deux-là l’origine des coordonnées est un point en positiongénérale et une des pseudosphères ayant pour centre l’origine des coordonnées,est la conique :x 2 1 + x2 2 − x2 3 = 0,mais cette pseudosphère passe par son centre, ce qui est justement exclupar l’Axiome III.