Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

236 Division V. Chapitre 21. § 93.une autre situation. Ce que nous avons appelé jusqu’à présent un mouvementcontinu est maintenant simplement une famille continue de ∞ 1mouvements, dans laquelle est contenue la transformation identique.Cette manière de s’exprimer correspond manifestement à la manièremaintenant habituelle de s’exprimer dont nous avons déjà usé auparavant,lorsque nous parlions du groupe des mouvements euclidiens,sachant aussi que nous entendions chaque fois par « mouvement » unetransformation de ce groupe.À présent, en collectant les résultats des paragraphes précédents,nous pouvons dire que les trois premiers axiomes helmholtziens ont lamême signification que les exigences suivantes :A) Chaque point de l’espace n fois étendu peut être déterminé parn coordonnées : x 1 . . . x n .B) Un groupe continu fini qui est réel et transitif et que nous appelonsgroupe des mouvements :(11) x ′ ν = f ν(x1 . . .x n ; a 1 . . .a r), (ν =1··· n)est déterminé par tous les mouvements possibles dans l’espace. Lenombre r de paramètres de ce groupe possède la valeur 1 n(n+1) et les2transformations du groupe sont inverses l’une de l’autre par paires. Lesfonctions f 1 . . .f n sont non seulement différentiables par rapport auxx, mais aussi par rapport aux a et les quotients différentiels par rapportaux x sont de leur côté à nouveau différentiables par rapport aux a.C) Relativement au groupe (11), deux points ont un et un seulinvariant, et s > 2 points n’ont aucun invariant essentiel. Si :J ( )x 1 . . .x n ; y 1 . . .y n est l’invariant des deux points xν et y ν , alorson doit pouvoir délimiter à l’intérieur de l’espace n fois étendu unecertaine région n fois étendue de telle sorte que les relations :(12) J ( ) ( )x 1 . . .x n ; y 1 . . .y n = J x01 . . .x 0 n; y1 0 . . .yn0fournissent toujours une équation véritable entre : x 1 . . .x n , y 1 . . .y n ,quels que soient les points distincts l’un de l’autre que l’on puisse aussichoisir pour x 0 1 . . .x 0 n, y 0 1 . . .y 0 n dans la région.D) À l’intérieur de la région définie à l’instant, tous les pointssont parfaitement et librement mobiles par le groupe (11), tant qu’ils nesont pas liés par les invariants que les paires individuelles de points ontrelativement au groupe. Si donc par exemple : x 0 1 . . .x0 n ; y0 1 . . .y0 n sontdeux points distincts quelconques de cette région-là, alors, aussitôt que