Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Première solution au problème de Riemann-Helmholtz. 287Il découle de là qu’après fixation de l’origine des coordonnées, les différentiellesdx 1 ...dx n sont transformées de telle sorte que l’expression différentielle:(10) dx 2 1 + · · · + dx2 nreste invariante. Maintenant, comme l’origine des coordonnées est un pointde position générale et comme notre groupe est transitif, nous obtenons doncgénéralement pour chaque point de position générale une expression différentiellede ce type qui lui est attachée [zugeordnet] et pour préciser, nous trouvonsl’expression différentielle attachée au point x 0 1 ...x0 n, lorsque nous soumettonsl’expression (10) à une transformation quelconque :x ′ ν = f ν(x 1 ...x n )(ν =1··· n),qui envoie l’origine des coordonnées sur le point x 0 1 ...x0 n , et quand nous effectuonsaprès la substitution : x ′ ν = x 0 ν dans les coefficients de l’expressionainsi obtenue.Les expressions différentielles qui sont attachées de cette manière auxpoints de l’espace, sont transformées par les transformations de notre groupeexactement comme les points eux-mêmes, et de là, il découle à nouveau,que notre groupe laisse invariante une certaine expression différentielle de laforme :1...n∑k να k ν (x 1 ...x n )dx k dx ν ,qui revêt la forme (10) à l’origine des coordonnées, et qui par conséquent setransforme, pour tous les points réels x 1 ...x n de position générale, en uneforme quadratique constamment positive par rapport à dx 1 ...dx n .Ainsi, sans utiliser le Théorème 42, p. 271, on a démontré que chaquegroupe réel qui possède la libre mobilité dans l’infinitésimal en un point deposition générale, laisse invariante une expression différentielle du second degréconstamment positive, et on a donc démontré qu’avec l’aide de l’axiomede libre mobilité dans l’infinitésimal, on peut déduire l’axiome de Riemannsur la longueur d’un élément courbe, sans même présenter tous les groupes quipossèdent la libre mobilité dans l’infinitésimal * .Pour terminer, nous voulons encore prononcer quelques mots au sujetd’un passage de la soutenance orale de Riemann, qui nous paraît inintelligibledans la version déjà présentée [die uns in der vorliegenden Fassung unverständlichercheint].Nous voulons dire le passage à la page 265 de ses Œuvres complètes (1 èreédition), où Riemann applique ses recherches sur la détermination des rapportsmétriques d’une grandeur n fois étendue dans l’espace.p. 292).* Lie a déjà signalé cela en 1890 dans le Leiziger Berichten (voir la Remarque