Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

56 2.3. Rendre objectives les propriétés de la géométriede correspondances intuitives entre les représentations idéales des objetsgéométriques purs et leur portrait physique approximatif, imparfaitet défectueux.En tout cas pour Helmholtz — que l’on a pu considérer commerésolument empiriste ([33, 34]) —, notre intuition archaïque, concrète,évidente et profondément non problématique des objets dans le mondephysique doit être incarnée fidèlement dans les sytèmes axiomatiquesde la géométrie pure. Le point de vue de Helmholtz est donc celui d’unpenseur universel des sciences expérimentales qui admet deux faits fondamentauxtransmis par l’expérience :1) la mesure de l’espace est et ne peut être basée que sur l’observationde congruences entre des objets 8 ;2) toute forme de congruence demande pour son effectuation qu’ilexiste des corps rigides, fixes en eux-mêmes, et qu’on puisse les déplacercomme des règles sans qu’ils changent ni de forme, ni de longueur 9 .L’espace ubiquitaire est comme le milieu terrestre : baigné d’une atmosphèreinvisible, il n’oppose en principe aucune résistance à la libre mobilitédes règles mesurantes. Corps mesurant et corps mesuré sont structurellementhomologues, voire interchangeables. Dans ce monde homogènede corps rigides, l’essence fondamentale est la distance ; c’est aussiun principe d’équivalence ontologique.8 Par mise en congruence, il faut entendre tout procédé concret par lequel lesdeux extrémités d’un objet-étalon sont placées en coïncidence avec une paire de pointsrepérables sur l’objet à mesurer ; ensuite si nécessaire, l’étalon invariable de mesuredoit être reporté jusqu’à épuisement de l’extension de l’objet, un certain nombre defois en fonction de la taille de l’objet. Lorsque la longueur cherchée n’est pas unmultiple entier de l’objet-règle utilisé, graduations et subdivisions complètent alorsle défaut restant. L’horizon microscopique borne rapidement l’effort de raffinementdans la mesure. Helmholtz affirme donc clairement que l’ontologie sous-jacente aumesurable repose sur l’équivalence, sur la comparaison, sur la sommation finie et surla (sub)division. Le caractère archimédien de l’espace physique provient de ce qu’ilhéberge des essences rigides arithmétisantes.9 Sinon, si des corps mobiles devaient nécessairement changer de longueur lorsqu’ilssont déplacés d’un lieu vers un autre — la modification de leur longueur pouvantd’ailleurs même a priori dépendre du chemin qu’on leur fait emprunter —, il seraitabsolument impossible de parler d’une longueur comme résultat invariable d’unepluralité de mesures. « Les axiomes géométriques ne concernent pas les relations spatialesper se, mais ils impliquent aussi le comportement mécanique de nos corps lesplus rigides lorsqu’ils sont déplacés » (cité p. 531 de [34]).