Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

184 Division V. Chapitre 20. § 87.Comme on le sait, relativement au groupe (22), deux points possèdentun et un seul invariant, à savoir notre distance au sens usuel :(x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 + (z 1 − z 2 ) 2 .Il en va de même pour le groupe (23), et pour préciser, l’invariant enquestion :(x 1 −x 2 ) 2 +(y 1 −y 2 ) 2 +(z 1 −z 2 ) 2 +[x 1 y 2 −y 1 x 2 ] 2 +[y 1 z 2 −z 1 y 2 ] 2 +[z 1 x 2 −x 1 z 2 ] 2{1+x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 } 2constitue, comme on le sait, le birapport entre x 1 , y 1 , z 1 ; x 2 , y 2 , z 2 et lesdeux points que la droite de liaison [Verbindungslinie] entre x 1 , y 1 , z 1 etx 2 , y 2 , z 2 découpent sur la surface invariante du second degré.En outre, il est déjà connu depuis longtemps que pour ces deuxgroupes, les invariants de plusieurs points quelconques peuvent s’exprimerau moyen des invariants des paires de points, et donc que s > 2points n’ont pas d’invariant essentiel ; si on ne connaissait pas encorecette propriété, on pourrait la conclure immédiatement de la Proposition4, p. 181, puisque, premièrement : pour chacun de ces deuxgroupes, deux points possèdent un et un seul invariant et deuxièmement: étant primitifs, ces deux groupes ne laissent invariante absolumentaucune famille de ∞ 2 courbes.Le cas des groupes primitifs est ainsi achevé ; nous voulons seulementmentionner encore que pour chacun des deux groupes trouvés, uneéquation du second degré :α 11 dx 2 + α 22 dy 2 + α 33 dz 2 + 2α 12 dxdy + 2α 23 dydz + 2α 31 dzdx,dont le déterminant ne s’annule pas identiquement, reste invariante, etque les ∞ 2 directions passant par un point fixé en position générale sonttransformées par une action à trois paramètres 2 .§ 87.Groupes imprimitifs parmi les groupes recherchés.Tous les groupes concernés sont transitifs à six paramètres. Maintenant,si l’on fixe un point en position générale par rapport à l’actiond’un groupe transitif à six paramètres, la variété à deux dimensionsdes ∞ 2 éléments linéaires passant par ce point sera transformée par2 Pour chacun des deux groupes (22) et (23), l’origine 0 est un point de positiongénérale, puisqu’ils sont tous deux transitifs. Les trois transformations infinitésimalesxq − yp, yr − zq et zp − xr qu’ils possèdent en commun s’annulent en 0 et ellesengendrent le groupe complet des rotations (complexes ou réelles) autour de 0, qui estévidemment transitif sur le plan projectif des ∞ 2 éléments linéaires passant par 0.