Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 177En tenant compte de ces identités, nous pouvons clairement remplacerles six équations (16) par les suivantes :⎧X k f + X (1)k⎪⎨ ∑f = 0{(18) ϕkj (x, y, z) X j f + ϕ kj (x 1 , y 1 , z 1 ) X (1)j f } = 01j3⎪⎩(k = 1,2, 3),ou encore, par les suivantes :⎧X k f + X (1)k⎪⎨ ∑f = 0{(19)ϕkj (x, y, z) − ϕ kj (x 1 , y 1 , z 1 ) } X j f = 01j3⎪⎩(k = 1,2, 3).Sous les hypothèses posées, parmi les six équations (19), les troispremières sont résolubles 31 par rapport à p 1 , q 1 , r 1 ; en revanche, les troisdernières sont complètement libres de p 1 , q 1 , r 1 ; comme parmi les équations(19), il doit y en avoir exactement cinq 32 qui sont indépendantesles unes des autres, il est nécessaire et suffisant que les trois dernièresd’entre elles, que nous pouvons aussi écrire sous la forme :(20) X 3+k f − ∑ϕ kj (x 1 , y 1 , z 1 ) X j f = 0 (k = 1,2, 3),1j3se réduisent précisément à deux équations indépendantes. De là, si nousprenons en considération le fait que les trois transformations infinitésimales:X 3+k f − ∑ϕ kj (x 1 , y 1 , z 1 ) X j f, (k =1, 2, 3)1j3laissent complètement invariant 33 le point x 1 , y 1 , z 1 et qu’elles peuvents’exprimer (quand ce point est un point en position générale) commecombinaisons linéaires des transformations infinitésimales du groupe :31 Le groupe étant transitif, la matrice ( ξ ki (x 1 , y 1 , z 1 ) ) 1i3formée des coefficientsdes trois transformations infinitésimales X (1)k1k3, k = 1, 2, 3, par rapport auxchamps basiques p 1 , q 1 , r 1 , est de déterminant non nul.32 — puisque, rappelons-le, les m = 6 équations (2) doivent posséder une et uneseule solution commune qui constitue le seul invariant entre deux points —33 En effet, d’après (17), au point (x 1 , y 1 , z 1 ), ces trois transformations infinitésimaless’annulent, donc les trois groupes à un paramètre qu’elles engendrent vial’exponentielle laissent fixe le point (x 1 , y 1 , z 1 ).