Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

162 Division V.que chaque ligne arbitraire puisse être déplacée sans modifier salongueur, Riemann est alors parvenu à ce résultat qu’en dehors dela géométrie euclidienne, seulement deux autres géométries sontpossibles. Parmi ces deux dernières, l’une s’identifie à celle qui a étéréalisée par Lobatchevskiĭ, et l’autre correspond à la géométrie inscritesur la surface d’une sphère.Avant toute chose, du point de vue de l’Analyse, les recherchesde Riemann sur la longueur d’un élément courbe — qu’il n’a toutefoisqu’esquissées — sont du plus haut intérêt ; entre autres, elles ont vraisemblablementdonné l’impulsion aux développements que MessieursLipschitz et Christoffel ont entrepris ultérieurement (depuis 1870) surles expressions différentielles du second degré, Monsieur Lipschitzayant en tout cas poursuivi au cours du développement de sa théoriel’objectif de trancher en même temps quant à la justesse des considérationsde Riemann. Mais on ne peut pas nier que les assertions deRiemann ne fournissent que peu d’éclaircissements sur l’objet véritablede la recherche, i.e. sur les fondements de la Géométrie. Les axiomesde Riemann se réfèrent en effet tous à la longueur d’un élément courbe,donc seulement aux propriétés de l’espace dans l’infinitésimal ; si l’onveut en déduire quelque chose quant à la constitution de l’espace àl’intérieur d’une région d’extension finie, on devra d’abord effectuerune intégration. Mais puisque les axiomes qui doivent servir à l’édificationd’une Géométrie purement géométrique doivent nécessairementêtre élémentaires, et puisque ni le concept de longueur d’un élémentcourbe ni celui d’intégration ne sont élémentaires, il est clair que lesaxiomes de Riemann sont inutilisables pour un tel objectif.Dans son travail célèbre *de l’année 1868, M. de Helmholtzs’est soustrait, quoique de manière inconsciente, aux insuffisances desaxiomes riemanniens dont nous venons justement de discuter, notammentlorsqu’il postula certains axiomes se référant à un nombre finide points éloignés les uns des autres, et lorsqu’il tenta d’en déduirel’axiome de Riemann sur la longueur d’un élément courbe.M. de Helmholtz place expressément en première positionl’axiome d’après lequel l’espace est une variété numérique ; ceciconstitue un progrès par rapport à Riemann, bien que, à vrai dire, M.de Helmholtz s’enquière lui aussi de la portée de cet axiome lorsque,à la fin de son travail (à la page 221), il affirme que l’axiome posé par*« Sur les faits qui se trouvent au fondement de la Géométrie », Gött. Nachr.1868, pp. 193–221 ; voir aussi ses œuvres scientifiques complètes, Tome II, pp. 618–639.