Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

196 Division V. Chapitre 20. § 87.relativement au groupe (32), et pour préciser, on trouve par le calcul 23l’expression suivante pour cet invariant :(35) z 1 + z 2 − c log(x 2 − x 1 ) 2 − 2 y 2 − y 1x 2 − x 1.Il s’agit alors de savoir aussi quelle valeur la constante c peut prendre ;mais comme cette constante ne peut visiblement pas être supprimée enintroduisant de nouvelles variables x, y, z, elle constitue alors un paramètreessentiel, ce qui veut dire que le groupe (32) représente en fait∞ 1 types différents de groupes.Maintenant, il reste encore à déterminer si le groupe (32) appartientréellement aux groupes que nous recherchons, donc si les invariantsd’un nombre quelconque de points peuvent s’exprimer au moyendes invariants de paires de points. Mais comme nous avons déjà vu quedeux points possèdent un et un seul invariant, et comme par ailleurs, lafamille des pseudosphères (cf.p. 171) :(36) z + z 0 − c log(x − x 0 ) 2 − 2 y − y 0x − x 0= const.n’est pas seulement constituée de ∞ 1 , mais même 24 de ∞ 3 surfacesdifférentes, il ne nous reste plus, d’après la Proposition 4, p. 181, qu’àsavoir s’il existe une famille de ∞ 2 courbes qui engendre la totalité despseudosphères.Comme le point : x = y = z = 0 est un point en position générale,alors, quand il est fixé, pour chaque famille de ∞ 2 courbes quiest invariante, la courbe qui passe par ce point doit demeurer au repos.Or le point : x = y = z = 0 admet les trois transformations infinitésimales(33), qui produisent naturellement un sous-groupe à trois paramètresde (32). En annulant alors tous les sous-déterminants d’ordredeux 25 du déterminant (34) relatif à ce sous-groupe, on trouve quex = y = 0 est la seule courbe passant par le point : x = y = z = 0 quireste invariante en même temps que ce point. Mais comme, par l’action23 Soit on forme et on résout le système (2) avec les six transformations infinitésimalesX k , k = 1, . . .,6 du groupe (32), soit on vérifie directement que l’expressionde cet invariant est annulée identiquement par X (1)k+ X (2)kpour k = 1, . . .,6.24 Il y a quatre paramètres : z 0 , x 0 , y 0 et const., mais la constante absorbe z 0 parpassage du membre de gauche au membre de droite.25 En restriction à une courbe quelconque passant par l’origine qui est invariantepar le sous-groupe d’isotropie fixant l’origine, le rang de l’espace vectoriel engendrépar les trois transformations infinitésimales (33), donc de la matrice (34), doit être 1.