Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

272 Division V. Chapitre 22. § 99.réels continus de R n+1 qui possèdent la libre mobilité dans l’infinitésimalen un point réel quelconque de position générale.Soit G un groupe réel continu de R n+1 qui possède la libre mobilitédans l’infinitésimal en un point réel P de position générale. Siensuite on fixe le point P , puis un M 1 -élément réel quelconque passantpar lui, puis un M 2 -élément réel quelconque passant par les deux,etc. , et finalement un M n−1 -élément réel quelconque passant par tousles éléments précédents, alors chaque M n -élément réel qui passe par leM n−1 -élément fixé peut encore tourner continûment autour de cet élément; car s’il ne le pouvait pas, aucun mouvement continu ne seraitencore possible après fixation des n − 1 élément sus-nommés.Il découle de là que G est transitif. Si en effet il était intransitif,alors R n+1 se décomposerait d’une manière, ou bien même d’une infinitéde manières, en ∞ 1 variétés réelles invariantes n fois étendues,donc il passerait par le point P , qui est en position générale, au minimumun M n -élément réel qui resterait invariant en même temps que P ,en conséquence de quoi il ne pourrait pas se tourner continûment autourd’aucun M n−1 -élément réel contenu en lui.Par ailleurs, souvenons-nous à ce sujet que les ∞ n M 1 -élémentsréels passant par P forment une variété lisse n fois étendue, qui — lepoint P étant fixé — est transformée par l’action d’un groupe projectifréel g. Imaginons-nous les M 1 -éléments de cette variété rapportés projectivementaux points réels d’un espace lisse n fois étendu R n ′ ; alorschaque M 1 -élément passant par P se transforme en un point de R n ′ ; àchaque M 2 -élément passant par P correspond clairement et de manièreréversible un M 1-élément ′ réel de R n ′ ; en général, à chaque M q -élémentréel passant par P correspond clairement et de manière réversible unM q−1 ′ -élément de R′ n ; et enfin, au groupe g correspond un groupe projectifréel g ′ de R n ′ qui lui est isomorphe-holoédrique. Si maintenantnous fixons dans R n ′ un point, puis un M 1 ′ -élément réel quelconque passantpar ce point, puis un M 2-élément ′ réel quelconque passant par lesdeux, etc. , et finalement un M n−2-élément ′ réel quelconque qui passepar tous les éléments précédents, alors chaque M n−1 ′ -élément réel quipasse par le point et par tous ces éléments doit pouvoir se tourner encoreautour du M n−2 ′ -élément ; sinon, l’exigence de libre mobilité dansl’infinitésimal au point P ne serait pas satisfaite par notre groupe G. Parconséquent, le groupe projectif réel g ′ de R n ′ possède la libre mobilitédans l’infinitésimal sans exception en chaque point réel de R n ′ .