Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 1. L’ouverture riemannienne 33d’emblée avec le géométral, par l’effet d’une dualité ou d’une complémentaritéqui se trouve à la racine des concepts.À ce moment-là, bien que Riemann soit pertinemmentconscient — grâce à ses travaux sur les séries trigonométriques — dufait que les fonctions diffèrent en nature suivant qu’elles sont continues,différentiables, ou analytiques, avec un ensemble éventuellement finiou infini de discontinuités, il semble vouloir ne préciser ici aucunehypothèse technique au sujet de la régularité de la fonction en question.Par conséquent, le fonctionnel est ici absolument ouvert à la généralitéet à la diversification des univers spatiaux. On évolue donc dans unmonde virtuel qui embrasse a priori les variétés topologiques, lesvariétés de classe C 1 , C 2 , C k ou C ∞ , les variétés analytiques réelles,complexes, ou quaternioniques, les espaces analytiques singuliers, lesespaces éventuellement fractals, non séparés, totalement discontinus,ou encore absolument mixtes, c’est-à-dire qui incorporent éventuellement,en des localités distinctes, chacun de ces aspects-là : postéritéstupéfiante de la généralité riemannienne. Les raisonnements quipourraient être considérés comme vagues et imprécis englobent doncici des pans entiers de la géométrie à plusieurs dimensions, que Engelet Lie allaient être les premiers à développer d’une manière vraimentsystématique, dans une optique exclusivement locale et générique.Lorsqu’on fait varier la constante à laquelle on égale une telle fonction,les lieux de points en lesquels sa valeur est fixe forment alors unemultiplicité continue 67 d’un nombre de dimensions moindre que celuide la variété donnée.67 En toute rigueur ici, il faut faire des hypothèses telles que par exemple la différentiabilitéau moins C 1 et la non-annulation de la différentielle, puisque d’aprèsun théorème de Whitney, tout sous-ensemble fermé d’une variété, aussi pathologiquequ’il soit, peut être représenté comme lieu d’annulation d’une certaine fonction continue([106]). Toutefois, dans ce moment d’analyse, les raisonnements sont locaux etgénériques : « Les cas d’exception, dont l’étude est importante [souci d’ouverture],peuvent être ici laissés de côté ». Rien n’empêche en tout cas de pressentir que de telsraisonnements conservent un sens très précis dans la catégorie des espaces analytiquescomplexes singuliers, où l’ontologie parallèle du fonctionnel et du géométral, mieuxcontrôlée par les séries entières convergentes, se prolonge toujours d’un point vers unpetit voisinage de ce point, grâce notamment au théorème de préparation de Weierstrass,au théorème de paramétrisation locale de Noether et au théorème de cohérenced’Oka.