Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

132 3.8. Équations de structureIci, les variables (x 1 , . . .,x n ) varient dans un domaine 36 X ⊂ C n , lesparamètres (a 1 , . . ., a r ) varient dans un domaine A ⊂ C r , et l’applicationx ↦→ f a (x) = f(x; a) est, pour tout a, un difféomorphisme deX sur son image f a (X ). Comme cela a déjà été incidemment signalédans la note p. 94 et dans la note p. 104, il se trouve que l’existenced’équations différentielles fondamentales (cf. le Théorème p. 104) peutêtre dérivée de la seule condition que les transformations du groupe sontstables par composition au sens technique suivant :[f(f(x; a); b)≡ f(x; ϕ(a,b))pour tous x ∈ X 1 , a ∈ A 1 , b ∈ A 1 ,c ≡ ϕ ( a, χ(a,c) ) pour tous a ∈ A 1 , c ∈ A 1 ,sans supposer ni l’existence d’un élément identité, ni l’existence detransformations inverses l’une de l’autre par paires. Plus précisément,sous les hypothèses spécifiques de la note p. 94, on démontre la propositionsuivante en s’inspirant des raisonnements du § 3.5.Proposition. ([40], pp. 33–34) Il existe une matrice (ψ kj (a)) 1jr1kr detaille r × r de fonctions qui sont holomorphes et inversibles dans A 1 ,et il existe des fonctions ξ ji (x) holomorphes dans X telles que les équationsdifférentielles :(2)∂x ′ i∂a k(x; a) =r∑ψ kj (a) · ξ ji (x ′ )j=1(i = 1 ···n ; k = 1 ···r)sont identiquement satisfaites pour tout x ∈ X 1 et tout a ∈ A 1 , aprèsremplacement de x ′ par f(x; a).Pour le moment, nous voulons nous retenir de supposer que leséquations x ′ i = f i(x 1 , . . .,x n , a 1 , . . .,a r ) doivent représenter un groupeà r termes. En ce qui concerne les équations (1), nous voulons plutôtsupposer : premièrement, qu’elles représentent une famille de ∞ rtransformations différentes, donc que les r paramètres a 1 , . . . , a r sonttous essentiels, et deuxièmement, qu’elles satisfont des équations différentiellesde la forme spécifique (2). [40], pp. 67–68.L’essentialité des paramètres (a 1 , . . .,a r ) assure alors ([40], p. 68) que :• le déterminant des ψ kj (a) ne s’annule pas identiquement ; etque :• les r transformations infinitésimales :X ′ k =n∑i=1ξ ki (x ′ ) ∂∂x ′ i(k = 1 ··· r)36 Nous considérerons en effet ici explicitement les domaines d’existence.