Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 2. La mobilité helmholtzienne de la rigidité 71Ensuite, Helmholtz utilise un argument indirect qu’il aurait pu présenterde manière nettement plus limpide sur le plan technique : par linéaritésupposée de la dépendance de (p ′ , p ′′ , p ′′′ ) par rapport à η, η ′ et η ′′ , lesystème obtenu par sommation de deux quelconques systèmes parmi lestrois systèmes considérés doit encore constituer un système du mêmetype, de telle sorte que le déterminant correspondant (4) doit à nouveaus’annuler. Cet argument combiné à un argument d’homogénéité deséquations obtenues par rapport aux constantes qui interviennent danschaque système permet à Helmholtz de déduire que 37 :et que :0 = α 0 = α 1 = γ 2 et 0 = a 0 = b 1 = a 2 ,(5) 0 = γ 0 a 1 − b 0 α 2 .Enfin, en formant la somme des trois systèmes après annulation de cessix constantes et en réappliquant l’argument d’annulation nécessaire dudéterminant (4), Helmholtz montre que 38 :Pour terminer, en posant :0 = γ 1 et 0 = b 2 .α 2 = −φ, γ 0 = κφ, a 1 = ψ,d’où il découle grâce à (5) que :b 0 = −κψ,37 Le raisonnement devrait converger vers le fait que la matrice combinaison linéairegénérale des trois systèmes en question n’est autre qu’une matrice 3 ×3 antisymétriquequelconque, quoiqu’un tel énoncé parlant soit en fait absent du mémoire deHelmholtz.38 L’étude de la matrice combinaison linéaire générale des trois systèmes s’arrêtelà. Fait surprenant : Helmholtz qui semble être conscient de retrouver les équationsdifférentielles du groupe des rotations qui fixent un point dans l’espace tridimensionnelne poursuit néanmoins pas le raisonnement de normalisation des constantes, etil oublie de convoquer à nouveau le fait que les deux valeurs propres non nulles dechaque système doivent être imaginaires conjuguées, ce qui lui aurait donné les équationsfinales : b 0 = −a 1 et γ 0 = −α 2 . À l’inverse chez Engel et Lie, le souci decomplétion absolue de la pensée technique ne laisse dans l’ombre aucun calcul en vuedes harmonies formelles conclusives.