Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

36 1.16. Conditions pour la détermination des rapports métriquesEn effet, sans s’autoriser à céder ni à la formulation aisée de problèmesouverts qui consiste simplement à augmenter le nombre de variables,ni à la générativité symbolique des expressions formelles, c’està-direplus précisément, sans annoncer d’emblée à son auditoire :« Étudions maintenant l’expression différentielle quadratique∑ ni,j=1 g ij(x 1 , . . .,x n ) dx i dx j à n variables qui généralise visiblementl’expression connue en coordonnées paramétriques intrinsèques dela métrique E(u, v) du 2 + 2 F(u, v) dudv + G(u, v) dv 2 sur unesurface courbe, dont Gauss a montré, dans son Theorema Egregium,qu’elle possède la mesure de courbure comme invariant à travers toutetransformation isométrique »,Riemann va plutôt, en renversant le sens de son étude, chercher à trouverdes principes de genèse a priori qui montreront en quoi l’expressionquadratique gaussienne, ainsi que sa généralisation à des dimensionssupérieures, est en un certain sens naturelle, nécessaire, ou tout dumoins « la plus simple possible » qui pourrait s’offrir à l’étude dans una priori relatif, reconstitué a posteriori, de la connaissance mathématique.Régressive dans l’a posteriori par rapport à la théorie de Gauss,l’étude riemannienne cherche à ouvrir une voie nouvelle vers l’a priorigénétique.Par sa démarche, Riemann est donc un véritable métaphysiciendes mathématiques : nous devons nous interroger, dit-il en effet, surl’existence de causes profondes qui pourraient expliquer l’émergencede telles formes symboliques, ou de telles structures mathématiques.Le point de vue riemannien se situe donc bien en amont de toute optionphilosophique unilatérale sur l’essence des mathématiques et sait sesoustraire aux polémiques afférentes ; idéalisme, platonisme, réalisme,constructivisme, intuitionnisme, historicisme, essentialisme, axiomatisme,formalisme : chacune de ces options philosophiques est engagéedans une problématique d’essence tellement profonde que les réponsespossibles sont encore noyées dans l’ouverture et dans l’indécision, ettout penseur d’inspiration riemannienne se voit dans l’obligation philosophiqued’accepter cet état de fait.Ainsi la partie du discours de Riemann où il rappelle son principeméthodologique général d’investigation n’est-elle plus maintenanténigmatique pour notre analyse.Nous arrivons au second des problèmes posés plus haut, savoirà l’étude des rapports métriques dont une multiplicité est susceptible,et des conditions suffisantes pour la détermination de ces rapports métriques.[133], p. 285.