Sophus Lie, Friedrich Engel et le problÃ¨me de Riemann ... - DMA - Ens

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90 3.2. Concept de groupe de Lie localPossibilité de préciser rigoureusement les hypothèses de lieu. Sans remettre encause les trois principes de pensée qui seront appliqués constamment par la suite, signalonsque l’on peut aisément formuler des hypothèses précises et rigoureuses quantaux domaines d’existence d’un groupe de Lie local.Ici, on doit observer que l’on a fixé le comportement des fonctionsf i(x; a) seulement à l’intérieur des régions [Bereich] (x) et (a).Par conséquent, nous avons la permission de substituer l’expressionx ′ ν = f ν(x, a) dans les équations x ′′i = f i(x ′ , b) seulement lorsque le systèmede valeurs [Werthsystem] x ′ 1, . . . , x ′ n se trouve dans la région (x). C’est pourquoinous sommes forcé d’ajouter, aux hypothèses remplies jusqu’à maintenant parles régions (x) et (a), la supposition suivante : il doit être possible d’indiquer,à l’intérieur des régions (x) et (a), des sous-régions respectives ((x)) et ((a))d’une nature telle que les x ′ i restent toujours dans la région (x) lorsque les x ise meuvent [laufen] arbitrairement dans ((x)) et quand les a k se meuvent arbitrairementdans ((a)) ; nous exprimons cela brièvement de la manière suivante :la région x ′ = f`((x)) ((a))´ doit tomber [hineinfallen] entièrement dans la région(x).D’après ces conventions [Festsetzungen], si on choisit x 1, . . . , x n dans larégion ((x)) et a 1, . . . , a r dans la région ((a)), on peut réellement effectuer lasubstitution x ′ k = f k (x,a) dans l’expression f i(x ′ 1, . . . , x ′ n, b 1, . . . , b n) ; c’est-àdire,lorsque que x 0 1, . . . , x 0 n désigne un système de valeurs arbitraire dans larégion ((x)), l’expression :f i`f1(x, a),...,f n(x,a), b 1, . . . , b n´peut être développée, dans le voisinage du système de valeurs x 0 k, commeune série entière ordinaire en x 1 − x 0 1, . . . , x n − x 0 n ; les coefficients de cettesérie entière sont des fonctions de a 1, . . . , a r, b 1, . . . , b r et ils se comportentrégulièrement [verhalten sich regulär], lorsque les a k sont arbitraires dans ((a)) etles b k arbitraires dans (a). [40], pp. 15–16.Reformulons ces conditions avec une optique purement locale. Si(x 1 , . . . , x n ) ∈ C n sont les coordonnées complexes considérées, on choisirala norme :|x| := max1in |x i|,où |w| = √ ww désigne le module d’un nombre complexe w ∈ C. Pour des « rayons »variés ρ > 0, on considère alors les ouverts spécifiques centrés en l’origine, appelésaujourd’hui polydisques :∆ n ρ := { x ∈ C n : |x| < ρ } .Par ailleurs, on munit aussi l’espace des paramètres (a 1 , . . . , a r ) ∈ C r de la normesimilaire :|a| := max1kr |a k|,et pour des réels strictement positifs σ > 0 variés, on introduit les ouverts :□ r σ := { a ∈ C r : |a| < σ } .Voici alors comment l’on peut formuler les axiomes de groupe de Lie en localisanttoutes les considérations autour de l’élément identité. Eu égard au caractère purementlocal qui est visé, les fonctions f i (x; a) seront supposées définies lorsque |x| < ρ 1
Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 91et lorsque |a| < σ 1 , pour un certain ρ 1 > 0 et pour un certain σ 1 > 0, tous deux« petits ». L’élément identité e ∈ C r correspondra à l’origine 0 ∈ C r , c’est-à-dire quel’on a :f i (x 1 , . . .,x n : 0, . . .,0) ≡ x i (i =1··· n).Afin que la composition de deux transformations successives x ′ = f(x; a) et x ′′ =f(x ′ ; b) soit bien définie, nous rapetissons ρ 1 en un certain ρ 2 suffisamment petit avec0 < ρ 2 < ρ 1 et nous rapetissons σ 1 en un certain σ 2 suffisamment petit avec 0
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Préfacepar Jean-Jacques Szczecinia
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