Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 1. L’ouverture riemannienne 41est alors tout à fait naturel que la première différentielle par rapport àx d’une telle fonction Ω(x; x 0 ) doive nécessairement s’annuler 80 pourx = x 0 , puisque toute notion de distance que l’on peut s’imaginer doitévidemment atteindre son minimum, égal à 0, au point de référencex = x 0 . Le quadratique (ordre 2) comme successeur du linéaire (ordre1) s’introduit donc seulement à travers le principe de stabilité existentielledes minima. On notera que presque immédiatement après avoirvoulu passer au macroscopique, Riemann réinfinitésimalise le raisonnementen considérant la différentielle d x Ω(x 0 ; x 0 ).Puisque cette première différentielle d x Ω(x 0 ; x 0 ) s’annule, le comportementquantitatif de Ω(x; x 0 ), lorsque x parcourt un voisinage infinitésimalde x 0 , sera entièrement représenté par sa différentielle seconde:n∑ n∑d 2 ∂ 2 ΩΩ =(x 0 ; x 0 ) dx i dx j .∂x i ∂x ji=1j=1Par construction, cette différentielle seconde donne donc une bonne approximationde type Taylor-Young pour la valeur :Ω(x 0 + dx; x 0 ) − Ω(x 0 ; x 0 ) = Ω(x 0 + dx; x 0 ) − 0= longueur x 0(dx)= ds ∣ ∣x 0.À présent, nouvelle bifurcation d’hypothèses : si tous les coefficients∂ 2 Ω∂x i ∂x j(x 0 ; x 0 ) de cette différentielle seconde s’annulent, le développementdevra se poursuivre jusqu’aux termes d’ordre 3. Mais comme toutproduit dx i dx j dx k de degré trois entre différentielles change de signequand on change dx en −dx, et comme la fonction distance recherchéedoit forcément être positive, il en découle que dans ce cas, la différentielletroisième d 3 Ω(x 0 ; x 0 ) doit donc nécessairement s’annuler. Ainsi,on doit alors tester si la différentielle quatrième ne s’annule pas, et ainside suite.En toute généralité, ce raisonnement qui présuppose l’analyticitéde la fonction Ω, montre que la métrique infinitésimale recherchée doits’identifier à la racine 2k-ième d’une expression homogène de degré 2k80 Si une fonction ω = ω(x 1 , . . . , x n ) de n variables possède une dérivée partielle∂ω∂x iqui ne s’annule pas en un point x 0 , alors ω croît ou décroît strictement (selon lesigne de cette dérivée partielle) le long d’un petit segment affine parallèle à l’axe desx i qui passe par x 0 .