Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

70 2.7. Calculs helmholtziense (a+ib)t diverge lorsque t → ±∞, suivant le signe de a, lorsque a ≠ 0.Enfin, le cas où toutes les valeurs propres sont nulles ne se produit pas :ou bien la forme normale de Jordan de M est identiquement nulle, d’oùtous les points restent au repos (cas exclu par l’axiome de mobilité) ;ou bien cette forme normale est nilpotente, et le mouvement s’éloignepolynomialement vers l’infini 36 .Ainsi, dans de nouvelles coordonnées appropriées, le système peutêtre écrit sous une forme normale simplifiée :dXdη = 0, dYdη = −ω Z dZdη = ω Y.Sans surprise, on retrouve les équations différentielles d’une rotationeuclidienne d’axe {Y = Z = 0}. À la très grande généralité initiale dupropos de Helmholtz succède donc la considération de mouvements quiétaient déjà fort bien compris dans les mathématiques et dans la mécaniquede l’époque. Lie au contraire replacera l’ambition de généralité àun niveau largement supérieur. L’axiome de monodromie qui semblaitintuitivement si évident impose donc une condition extrêmement fortequi permet d’éliminer presque tous les systèmes (3), excepté ceux quifournissent des rotations euclidiennes.Ensuite, en modifiant convenablement la dépendance de(p ′ , p ′′ , p ′′′ ) par rapport à η, Helmoltz prétend que l’on obtient deuxautres rotations le long des deux axes {X = Z = 0} et {X = Y = 0}qu’il écrit sous la forme générale suivante, en introduisant deuxnouvelles directions unidimensionnelles η ′ et η ′′ dans l’espace desparamètres (p ′ , p ′′ , p ′′′ ) :⎧dXdX= αdη⎪⎨′ 0 X + 0 + γ 0 Z= adηdY⎪⎨′′ 0 X + b 0 Y + 0dY= αdη ′ 1 X + 0 + γ 1 Z et = adη ′′ 1 X + b 1 Y + 0dZdZ⎪⎩ = αdη ′ 2 X + 0 + γ 2 Z⎪⎩ = adη ′′ 2 X + b 2 Y + 0.Pour chacun de ces deux systèmes, le déterminant correspondant (4)doit s’annuler, et en particulier, la trace matricielle doit être nulle :⎧0 = α 0 + γ 2 et 0 = a 0 + b 1 .36 Dans de nouvelles coordonnées normalisantes (X, Y, Z), le système s’écrit :dZ dYdt= 0,dt= Z et dXdt= ε Y , avec ε = 0 ou = 1 suivant que le rang de la matrice(nilpotente) M est égal à 1 ou à 2. L’intégration donne un mouvement : Z = Z 0 ,Y = Y 0 + Z 0 t, X = ε ( X 0 + Y 0 t + 1 2 Z 0 t 2) qui n’est pas périodique.