Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 171Il est clair qu’après fixation du point : x 1 , y 1 , z 1 , les ∞ 3 points del’espace peuvent se disposer sur les ∞ 1 surfaces invariantes :(10) J ( x 1 , y 1 , z 1 ; x, y, z ) = const.Relativement au groupe à six paramètres des mouvements euclidiens,qui satisfait évidemment toutes les conditions posées à la page 166, ces∞ 1 surfaces-là ne sont autres que les ∞ 1 sphères (10) centrées au point :x 1 , y 1 , z 1 . Afin de pouvoir nous exprimer brièvement, nous voulonsdonc appeller simplement pseudosphères centrées au point x 1 , y 1 , z 1 relativesau groupe : X 1 f . . .X m f les ∞ 1 surfaces (10). Ensuite, nouspouvons aussi dire : si un point x 1 , y 1 , z 1 qui est en position généralevis-à-vis du groupe : X 1 f . . .X m f est fixé, alors chaque autre pointen position générale peut se mouvoir sur la pseudosphère centrée enx 1 , y 1 , z 1 passant par lui. La totalité [Inbegriff] de toutes les pseudosphèresexistantes forme naturellement une famille de surfaces invariantespar le groupe 17 : X 1 f . . .X m f. On peut encore mentionner aussique les ∞ 1 pseudosphères (10) peuvent être définies par une équationde Pfaff intégrable de la forme :(11) α(x 1 , y 1 , z 1 ; x, y, z) dx + β dy + γ dz = 0,qui est obtenue par différentiation 18 de (10), et dans laquelle x 1 , y 1 , z 1jouent le rôle de constantes.À présent, imaginons-nous que deux points : x 1 , y 1 , z 1 et x 2 , y 2 , z 2sont fixés ; alors, comme nous le savons 19 , tout autre troisième point :x 3 , y 3 , z 3 en position générale peut encore occuper toutes les positions :x ′ 3 , y′ 3 , z′ 3 qui satisfont les deux équations :{ ( ( )J x1 , y 1 , z 1 ; x ′ 3, y 3, ′ z 3) ′ = J x1 , y 1 , z 1 ; x 3 , y 3 , z 3(12)J ( x 2 , y 2 , z 2 ; x ′ 3, y ′ 3, z ′ 3)= J(x2 , y 2 , z 2 ; x 3 , y 3 , z 3),et qui se trouvent dans un certain voisinage de x 3 , y 3 , z 3 , donc ce pointpeut encore occuper au moins ∞ 1 positions. Maintenant, comme parfixation des deux points, les paramètres du groupe sont soumis à cinq17 En effet, chaque transformation finie du groupe conserve la pseudodistance J,donc envoie chaque pseudosphère centrée en un point sur la pseudosphère de mêmepseudorayon qui est centrée au point image. Par conséquent, l’ensemble de toutes lespseudosphères se transforme en lui-même.18 — par rapport aux trois variables x, y, z —19 — d’après les équations (7) et (1’) —