Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

286 Division V. Chapitre 22. § 100.Tout d’abord, on peut montrer d’une manière essentiellement plus simpleque précédemment que chaque groupe projectif réel continu, qui possède lalibre mobilité dans l’infinitésimal en tout les points réels de l’espace, coïncideavec le groupe projectif réel d’une surface imaginaire du second degré, dontl’équation est réelle.Pour le plan, nous avons démontré cela dans le § 97. Afin de démontrercette proposition en général, nous supposons que nous l’avons démontrée dansl’espace à n − 1 2 dimensions et nous démontrons ensuite qu’elle est aussivalide dans l’espace à n dimensions.Si donc la proposition est démontrée pour l’espace à n − 1 dimension,il en découle immédiatement que chaque groupe projectif réel γ de R n quipossède la libre mobilité dans l’infinitésimal en un point de position générale,a 1 2n(n + 1) paramètres et qu’il peut être ramené, via une transformationprojective réelle, à la forme :1...n∑p µ +j k1...n∑α µ j k x j p k +1...n∑x µ p ν − x ν p µ +τβ µ τ x τ Uγ µ ν τ x τ Uτ(µ, ν =1··· n; γ µ ν τ + γ ν µ τ = 0).Mais il s’ensuit de là par des calculs, qui ne diffèrent pratiquement pas de ceuxdes pages 290 sq., que γ peut recevoir, par une transformation projective réelle,la forme :p µ + cx µ U, x µ p ν − x ν p µ (µ, ν =1··· n).Si maintenant en particulier γ doit posséder la libre mobilité dans l’infinitésimalen tous les points réels de l’espace, alors c doit être positif, et par suitedans ce cas γ consiste, après un choix approprié des variables, en toutes lestransformations projectives réelles qui laissent invariante la variété :x 2 1 + · · · + x 2 n + 1 = 0.Ainsi, nous avons démontré directement que notre proposition vaut pourR n si elle vaut pour R n−1 et puisqu’elle est vraie dans le plan, elle est doncgénéralement démontrée.Considérons maintenant un groupe quelconque de R n qui, dans le voisinaged’un point réel en position générale, possède la libre mobilité dans l’infinitésimal.On obtient ensuite de la même manière qu’aux pages 267 sq. queG est transitif, qu’il a 1 2n(n + 1) paramètres et qu’il peut être rapporté à laforme :p ν + · · · , x µ p ν − x ν p µ + · · · (µ, ν = 1···n),via une transformation réelle.