Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

182 Division V. Chapitre 20. § 85.aucun invariant essentiel si et seulement si : premièrement, au minimum∞ 2 pseudosphères différentes appartiennent au groupe ; et deuxièmement,il n’existe pas de famille de ∞ 2 courbes qui sont invariantes 41par le groupe et au moyen desquelles sont produites toutes les pseudosphèresexistantes.On se convainc sans difficulté de la justesse de cette proposition.En effet, la Proposition 1 p. 176 montre immédiatement que dans laProposition 4, les conditions indiquées sont nécessaires ; qu’elles soientaussi suffisantes, on peut s’en rendre compte comme suit.Comme deux points doivent posséder un et un seul invariant essentielet comme il doit y avoir au minimum ∞ 2 pseudosphères différentes,il est clair que deux pseudosphères, dont les centres : x 1 , y 1 , z 1et x 2 , y 2 , z 2 sont mutuellement en position générale, n’ont en généralqu’une seule courbe en commun, et donc que les deux fonctions :J ( x 1 , y 1 , z 1 ; x 3 , y 3 , z 3), J(x2 , y 2 , z 2 ; x 3 , y 3 , z 3),que nous voulons écrire en abrégé J 1,3 et J 2,3 , sont indépendantes l’unede l’autre relativement à x 3 , y 3 , z 3 . De là il suit manifestement que lestrois fonctions : J 1,2 , J 1,3 , J 2,3 sont des solutions indépendantes deséquations :X (1)k f + X(2) k f + X(3) kf = 0 (k =1···6);mais comme, sous les hypothèses posées, ces équations sont très certainementrésolubles par rapport à six des neuf quotients différentiels p ν ,q ν , r ν (ν = 1, 2, 3), en conséquence de quoi elles n’ont que trois solutionscommunes indépendantes, on a donc démontré que, sous les hypothèsesposées, tous les invariants de trois points se laissent exprimerau moyen des invariants des paires de points, et donc que trois pointsn’ont pas d’invariant essentiel.Par ailleurs, si trois pseudosphères dont les centres : x ν , y ν , z ν(ν = 1, 2, 3) sont mutuellement en position générale ne s’intersectaientpas toujours en un seul point, mais possédaient toujours une courbe entièreen commun, alors les pseudosphères centrées en deux points quelconquesparmi ces points détermineraient une famille de ∞ 2 courbesqui serait constituée de telle sorte que sur chaque pseudosphère seraientdisposées ∞ 1 courbes de la famille ; et maintenant, comme cette41 Dans la Proposition 1, les familles de ∞ 2 courbes exclues n’étaient pas forcémentinvariantes par l’action du groupe. Mais les deux énoncés sont en fait équivalents,parce que les pseudosphères elles-mêmes et les familles de leurs courbes d’intersectiondeux à deux sont évidemment invariantes par le groupe.