Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

28 1.14. Modes amétriques de déterminationà présent l’analyse philosophique de son discours, que nous avions interrompuep. 15.En partant, comme nous l’avons rappelé, de la bifurcation zénoniennefondamentale entre le discret et le continu, Riemann insiste surle fait que les occasions de faire naître des concepts dont les modesde détermination recourent à la continuité 58 sont beaucoup moins fréquentes59 que lorsqu’il s’agit des concepts dont les modes de déterminationforment une multiplicité discrète. En effet, l’équivalence numériqueentre plusieurs collections d’objets concrets qui fonde, à un niveauintuitif proprement archaïque la notion élémentaire de nombre entier, nepose quasiment aucun problème d’abstraction à la pensée, parce que lesbijections entre collections d’objets individués possèdent, pour l’intuition,un sens physique extrêmement clair, du moins lorsqu’il s’agit depetits nombres entiers. Riemann dévoile alors sa motivation mathématique.De telles recherches sont devenues nécessaires dans plusieursparties des Mathématiques, notamment pour l’étude des fonctions analytiquesà plusieurs valeurs 60 , et c’est surtout à cause de leur imperfectionque le célèbre théorème d’Abel, ainsi que les travaux de Lagrange,de Pfaff, de Jacobi sur la théorie générale des équations différentielles,sont restés si longtemps stériles. [133], p. 283.58 À nouveau, Riemann se révèle penseur du continu, en analyse, en géométrie différentielleet en physique. Weyl écrivait ([134], p. 740) que la motivation de principede Riemann était de comprendre le monde par son comportement dans l’infinimentpetit [die Welt aus ihrem Verhalten im Unendlichkleinen zu verstehen].59 Riemann affirme même qu’elles sont plus rares [selten], or cela n’est pas toutà fait exact, car les mouvements des corps dans l’espace — cette réalité intuitive quinous est omniprésente et qui allait connaître un destin algébrique inattendu avec le développementde la théorie des groupes de Lie — prouvent manifestement le contraire.D’ailleurs, Herbart avait déjà montré qu’il existe des espaces continus dont les modesd’existence sont extrêmement variés, comme par exemple (à nouveau) les divers lieuxque peuvent occuper les objets sensibles, mais aussi la « ligne du son » [Tonlinie], ouencore le triangle des couleurs, étudié par Thomas Young et Clark Maxwell, avec lebleu, le rouge et le jaune disposés à ses sommets, ces trois couleurs pouvant se fondreen s’associant quantitativement pour produire toutes les couleurs possibles dans lecontinu bidimensionnel de l’intérieur du triangle. Au début de ce § I ([133], p. 282),Riemann a probablement plutôt voulu suggérer que les modes de détermination continuequi sont nécessaires pour penser les multiplicités continues ne sont pas encoredisponibles, car le besoin de les élaborer ne s’est pas encore fait ressentir dans la vieordinaire.