Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

104 3.5. Équations différentielles fondamentalesNous pouvons donc maintenant énoncer le tout premier théorème fondamentalde la théorie de Lie.Théorème. ([40], pp. 33–34) Si les n équations de transformations :x ′ i = f i(x 1 , . . .,x n , a 1 , . . .,a n )(i = 1 ···n)dont les paramètres a 1 , . . ., a r sont tous essentiels représentent ungroupe continu fini local de transformations 17 , alors x ′ 1 , . . .,x′ n , considéréescomme fonctions de a 1 , . . .,a r , x 1 , . . .,x n satisfont certaineséquations différentielles de la forme spécifique :(5) ∂x′ i∂a k=r∑ψ kj (a 1 , . . ., a r ) ·ξ ji (x ′ 1 , . . ., x′ n )j=1(i = 1 ··· n; k =1··· r),où la matrice ψ kj (a) de fonctions analytiques définie au voisinage del’identité e satisfait ψ kj (e) = −δ j k , et où les fonctions ξ ki(x), égales à− ∂x′ i∂a k(x; e), coïncident, modulo un signe « moins » uniforme, avec lescoefficients des r transformations infinitésimales basiques :X e k∣x=n∑i=1∂f i(x; e) ∂∂a k ∂x i(k = 1 ···r).De plus, il est impossible de trouver r quantités constantes λ 1 , . . .,λ rnon toutes nulles telles que les n expressions :s’annulent simultanément.λ 1 ξ 1i (x ′ ) + · · · + λ r ξ ri (x ′ )(i = 1 ···n)Cette dernière propriété signifie évidemment que les r transformationsinfinitésimales X 1 , . . .,X r sont linéairement indépendantes 18 etelle découle du fait que les paramètres sont tous essentiels 19 . Après avoir17 Ici, nous avons admis l’existence d’un élément identité et nous avons supposéque les transformations peuvent être ordonnées par paires de transformations inversesl’une de l’autre. Mais Engel et Lie déduisent l’existence d’équations différentielles dutype (5) sous la seule hypothèse que la famille x ′ = f(x; a) soit fermée par composition,au sens explicité dans la note p. 94, voir aussi le § 3.9 ci-dessous.18 — sur C ou sur R, suivant que a ∈ C r ou a ∈ R r —19 Si les paramètres (a 1 , . . . , a r ) ne sont pas essentiels, d’après le théorème p. 86,le rang générique ρ ∞ de l’application infinie F ∞ des coefficients est r − 1. Maislorsque les équations de transformations constituent un groupe continu fini, on peutétablir (voir [110]) qu’en fait, le rang (tout court) de F ∞ est égal à ρ ∞ au paramètreidentité e, et donc aussi par voie de conséquence, égal à ρ ∞ dans un voisinage de e.Il existe donc au moins un champ de vecteurs T = ∑ nk=1 τ k(a) ∂∂a knon nul en e àcoefficients analytiques tel que : 0 ≡ T f i (x; a) = ∑ rk=1 τ k(a) ∂x′ i∂a k(x; a) pour tout