Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

164 Division V.Lorsqu’en 1869, Lie a communiqué à son ami F. Klein ses premièresrecherches sur les groupes continus, Klein a attiré très tôt l’attentionde Lie sur les recherches de Riemann et de Helmholtz, en soulignantque le concept de groupe continu y jouait un rôle implicite (cf.lemémoire de Lie dans le tome 16 des Math. Ann., p. 527). Mais c’estseulement au cours de l’année 1884 qu’à la suite des invitations renouveléesde Klein, Lie a entrepris de mettre strictement à l’épreuve lesréalisations helmholtziennes et d’apporter un traitement approfondi auproblème de Riemann-Helmholtz dans l’espace ordinaire à trois dimensions,au moyen de la théorie des groupes. Lie n’a rencontré à cet égardaucune difficulté, sachant qu’il avait déjà déterminé depuis longtempstous les groupes continus finis de cet espace. Lie a tout d’abord faitconnaître les résultats de cette recherche dans le Leipziger Berichtenen 1886, sans que leur déduction soit accompagnée des calculs nécessaires.Ensuite, dans deux gros mémoires de l’année 1890, parus égalementdans le Leipziger Berichten, non seulement il formula une critiquedétaillée des développements helmholtziens, mais encore, ce qui constituaitle but principal de tout ce travail, il apporta plusieurs nouvellessolutions au problème de Riemann-Helmholtz.Les chapitres qui suivent constituent un remaniement et en partiedes compléments aux travaux sus-mentionnés, que Lie a publiés à cesujet.Le Chapitre 20 contient certaines théories qui seront exposées aumieux pour elles-mêmes, avant que nous rendions compte des développementshelmholtziens. Une partie des axiomes qui ont été poséspar Helmholtz peut en effet s’exprimer, comme nous le verrons, de lafaçon suivante : la totalité des mouvements constitue un groupe, et relativementà ce groupe, deux points possèdent un et un seul invariant,tandis que tous les invariants d’un nombre de points supérieur à deuxpeuvent s’exprimer comme fonctions des invariants de paires de points.Afin de mesurer la portée des axiomes helmholtziens, il faut connaîtreà l’avance tous les groupes qui satisfont précisément à cette exigence,et puisque cette tâche, déjà importante en elle même, qui consiste à déterminertous ces groupes, ne peut pas être accomplie sans quelquesdépenses de calcul, il semble recommandé d’entreprendre spécialementune telle détermination.Dans le Chapitre 21, nous formulerons une critique détaillée desaxiomes et des résultats exposés par Helmholtz. Ensuite, dans les Chapitres22 et 23, nous exposerons différentes solutions du problème de