Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 2. La mobilité helmholtzienne de la rigidité 65r := ∂ ∂zpour abréger, soient :X k = ξ k (x, y, z) p + η k (x, y, z) q + ζ k (x, y, z) r (k = 1 ···6)six transformations infinitésimales qui engendrent un groupe continuà six paramètres de transformations locales de l’espace réel à trois dimensionsmuni des coordonnées (x, y, z), ce groupe étant supposé satisfaireles axiomes II, III et IV de Helmholtz. Le deuxième axiome :parfaite mobilité des corps rigides, demande notamment que le groupesoit transitif. De manière équivalente, en tout point donné à l’avance,les (champs de) vecteurs X 1 , . . ., X 6 engendrent l’espace tangent en cepoint. Sans perte de généralité, on peut supposer que le système descoordonnées est centré au point considéré. Quitte à effectuer des combinaisonslinéaires (pivot de Gauss), on peut supposer aussi que les troispremières transformations infinitésimales s’écrivent :X 1 = p + · · · , X 2 = q + · · · , X 3 = r + · · · ,où les termes «+··· » d’ordre supérieurs sont des restes de la forme 29O(1) p+O(1) q+O(1) r, et aussi en même temps que les trois transformationsinfinitésimales linéairement indépendantes restantes s’annulentà l’origine, de telle sorte que l’on peut écrire :X k := (α k1 x + α k2 y + α k3 z + · · ·) p++ (β k1 x + β k2 y + β k3 z + · · ·) q++ (γ k1 x + γ k2 y + γ k3 z + · · ·) r(k = 4,5, 6),où les termes «+··· » d’ordre supérieur sont de la forme O(2) p +O(2) q +O(2) r, et où les α kl , β kl , γ kl sont des constantes réelles. Engelet Lie introduisent alors le groupe réduit associé au groupe X 1 , . . .,X 6 ,qui est formé des transformations infinitésimales p, q et r issues de X 1 ,X 2 et X 3 en supprimant purement et simplement tous les termes d’ordre 1, avec les trois transformations d’ordre exactement égal à 1 :L k = (α k1 x+α k2 y + α k3 z) p + (β k1 x + β k2 y + β k3 z) q++ (γ k1 x + γ k2 y + γ k3 z) r(k = 1, 2,3),à la fin de ce paragraphe pour prendre connaissance de la teneur des contre-exemplesde Lie.29 Ici, la notation O(1) désigne un reste analytique s’annulant pour x = y = z =0 ; de même, la notation O(2) désigne un reste analytique s’annulant, ainsi que toutesses dérivées partielles d’ordre 1, lorsque x = y = z = 0.