Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

96 3.3. Principe de raison suffisante et axiome d’inverseholomorphe tel de χ à un voisinage de ∆ (afin d’obtenir les inverses destransformations x ′ = χ(λ) x avec λ ∈ Λ proche de ∂Λ).Dans le volume I de la Theorie der Transformationsgruppen, cetexemple apparaît seulement au Chapitre 9, pp. 163–165, et il est écrit enpetits caractères. Constatation frappante : pour des raisons de pureté etde systématicité dans la pensée, la structure des neuf premiers chapitresest organisée afin de faire autant que possible l’économie de l’existenced’un élément identité et de transformations inverses l’une de l’autre parpaires. Ce choix théorique complexifie considérablement la présentationde la théorie fondamentale, pourtant censée être relativement faciled’accès afin de toucher un public assez large de mathématiciens. Maisil est bien connu que la meilleure qualité dans l’exposition des premierséléments d’un ouvrage et que les meilleurs choix stratégiques quant àson organisation thématique, ne peuvent être atteints, paradoxalement,qu’à la fin du processus de mise en forme dans son ensemble. Impossible,donc, de demander au jeune et novice Friedrich Engel (alors âgéde 24 ans) de faire prévaloir un point de vue d’accessibilité et de simplicitédans la présentation. Au contraire, l’objectif affirmé de son maîtreSophus Lie était d’atteindre la plus grande généralité, de s’élever le plushaut possible dans un tel traité.Et malgré le contre-exemple du jeune Engel que nous venons dedétailler, Lie était quand même persuadé que l’analogie profonde de sathéorie des groupes continus avec la théorie des groupes finis de substitutionsn’était pas, dans sa racine métaphysique profonde, réellementremise en cause. Ainsi, toutes les fois que cela est possible du pointde vue abstrait de Lie, les énoncés des neuf premiers chapitres de laTheorie der Transformationsgruppen n’utilisent ni l’existence d’un élémentidentité, ni l’existence de transformations inverses l’une de l’autrepar paires. Engel et Lie étudient seulement les familles continues finiesd’équations de transformations x ′ i = f i (x; a 1 , . . .,a r ), i = 1, . . ., nqui sont fermées par composition au sens de la note p. 94, sans hypothèsesupplémentaire : grand degré d’abstraction et de généralité. Enfait, à partir de cette seule condition de fermeture par composition,Engel et Lie déduisent que les équations finies x ′ i = f i (x; a) satisfontcertaines équations différentielles fondamentales, stipulées dans leThéorème p. 104 ci-dessous (Théorème 3 p. 33 dans [40]). C’est alorsl’existence de telles équations différentielles qu’ils prennent systématiquementcomme hypothèse principale, à la place de la fermeture parcomposition, toujours sans élément identité et sans transformations inverses.