Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

72 2.8. Insuffisances et reprisesHelmholtz obtient le système complet de toutes les transformations possiblesqui fixent l’origine :⎧⎪⎨dX = 0 + κφ Z dη ′ − κψ Y dη ′′dY = −ω Z dη + 0 + ψ X dη ′′⎪⎩dZ = ω Y dη − φ X dη ′ + 0.Ici, la quantité κ doit être positive pour que les valeurs propres nonnulles soit imaginaires pures conjuguées l’une de l’autre. Helmholtz observealors qu’il découle de ce dernier système que la quantité suivantes’annule :1XdX + Y dY + ZdZ = 0,κc’est-à-dire après intégration :X 2 + κ Y 2 + κ Z 2 = const.Le facteur positif κ peut être supprimé en remplaçant Y , Z par √ κ Y ,√ κZ, et l’on retrouve les équations de la famille des sphères euclidiennescentrées en l’origine.2.8. Insuffisances et reprises. Helmholtz semble être satisfait par cetteconclusion, mais deux erreurs éventuelles peuvent encore être commises.Premièrement, par construction, les quantités x, y, z puis X, Y , Zqui s’en déduisent par combinaison linéaire demeurent infinitésimales.On ne retrouve donc la métrique pythagoricienne que dans l’infinimentpetit, et il est à nouveau absolument hors de question d’en déduire quecette métrique vaut dans le domaine local fini, voire dans le domaineglobal. D’ailleurs, toute métrique riemanienne quelconque est infinitésimalementéquivalente à une métrique euclidienne : la conclusion deHelmoltz ne prouve donc que le caractère infinitésimalement riemanniende la métrique, ce dont Helmholtz semble être néanmoins conscientdans le dernier paragraphe de son mémoire.Mais deuxièmement, Helmholtz prétend qu’il a en fait exploréla conséquence de la mobilité des corps rigides dans l’extension localefinie en tenant compte de la courbure riemannienne, et il annoncealors sans aucune démonstration le résultat final de ses investigations.D’après lui, si les axiomes I à IV sont satisfaits en toute généralité dansle domaine fini, alors la seule géométrie correspondante serait celle quiprévaut sur une sphère de rayon R dans un espace à quatre dimensionsmuni des coordonnées réelles (X, Y, Z, S) d’équation :X 2 + Y 2 + Z 2 + (S + R) 2 = R 2 ,