Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

232 Division V. Chapitre 21. § 92.conditions auxquelles la mobilité de P est soumise, il en découle que Ppeut encore être envoyé sur chaque autre point P ′ dont les coordonnéessatisfont ces m équations-là, et qui est lié à P par une série continue detels points. Si donc en particulier m a la valeur n, alors le point P nepeut plus effectuer aucun mouvement continu, mais il doit au contrairerester au repos.Nous avons vu plus haut qu’en accomplissant un nombre quelconquede mouvements continus l’un après l’autre, on obtient toujoursune transformation ponctuelle de R 3 parfaitement déterminée. Nouspouvons maintenant donner des explications plus précises sur la familledes transformations qui sont engendrées de cette manière.Considérons notre espace mobile dans une situation quelconque àl’intérieur de l’espace fixe. Soit n points P 1 . . .P n qui sont mutuellementen position générale dans l’espace mobile et P 1 . . .P n les pointsde l’espace fixe avec lesquels ils coïncident exactement. Si ensuite P estun autre point quelconque de l’espace mobile, alors P a aussi une positionentièrement déterminée à l’intérieur de l’espace fixe, car il n’existeplus aucun mouvement continu tel que P 1 . . .P n conservent complètementleur position : P 1 . . .P n .Maintenant, imaginons-nous que l’espace mobile est soumis à unnombre quelconque de mouvements continus. Nous allons voir que latransformation la plus générale de R n que l’on peut obtenir de cettemanière ne dépend que d’un nombre fini de paramètres arbitraires.En effet, par un mouvement continu, nous pouvons tout d’abordtransférer le point P 1 de la position P 1 vers tout autre point P ′ 1 , et parconséquent, la position la plus générale de P ′ 1 dépend de n paramètresarbitraires. Si l’on choisit P ′ 1 fixé, alors P 2 peut encore être transférévers tout autre point P ′ 2 qui satisfait une certaine équation, donc P′ 2dépend encore, lorsqu’on a choisi P ′ 1 , de n − 1 paramètres, et ainsi desuite. En bref, par des mouvements continus, nous pouvons parvenir à ceque P 1 . . . P n reçoivent les position nouvelles P ′ 1 . . .P ′ n, où le systèmede points : P ′ 1 . . .P′ n dépend de :n + (n − 1) + (n − 2) + · · · + 1 = n(n+1)1 · 2paramètres. Mais avec cela, toutes les possibilités sont aussi épuisées,car aussitôt que P 1 . . .P n reçoivent la nouvelle position : P ′ 1 . . .P ′ n,tout autre point P de l’espace mobile reçoit en même temps une nouvelleposition P ′ complètement déterminée, puisqu’il n’y a plus aucun