Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Deuxième solution au problème de Riemann-Helmholtz. 291achevée définitivement, y compris pour l’espace à n dimensions ; maisau contraire, notre deuxième solution, qui est exposée dans le présentchapitre, est achevée définitivement, au moins en un certain sens, seulementpour l’espace, à vrai dire le plus important, de dimension trois.Pour l’espace à n dimensions, nous montrons seulement qu’il est suffisantde poser certains axiomes qui se rapportent à des points finimentéloignés les uns des autres, et qui en tout cas requièrent moins que lesaxiomes helmholtziens ; mais nous ne prétendons toutefois pas que pourn > 3 ces axiomes ne contiennent pas d’éléments superflus ; nous estimonsmême qu’il est vraisemblable qu’ils en contiennent.Dans le § 101, nous démontrons en premier lieu une propositiongénérale sur les groupes relativement auxquels deux points possèdentun invariant. Dans le § 102, nous traitons ensuite l’espace à trois dimensions,et à cette occasion, la proposition démontrée dans le § 101 sera dequelque utilité. Dans le § 103 enfin, nous résolvons le cas d’un espaceà quatre dimensions et nous indiquons encore pour terminer commenton peut parvenir au but dans les espaces à un nombre de dimensionssupérieur à quatre.§ 101.Pendant le compte rendu critique du travail de Helmholtz, nousavons déjà mentionné que l’on doit être extrêmement précautionneuxlorsqu’on veut déduire quelque chose au sujet du comportement depoints infiniment voisins à partir du comportement de points finimentéloignés les uns des autres. Toutefois, nous ne disons pas par là qu’onne peut rien déduire au sujet du comportement de ces points-là à partirdu comportement de ces points-ci. En effet, le théorème suivant est vraien tout cas.Théorème 44. Si, relativement à un groupe continu de l’espacen fois étendu qui est constitué de transformations infinitésimales, deuxpoints finiment éloignés les uns des autres x 1 . . .x n et y 1 . . .y n ont uninvariant, alors aussi, deux points infiniment voisins x ν et x ν +dx ν possèdentau moins un invariant relativement au groupe, ou pour s’exprimerde manière plus précise : le groupe laisse invariante au minimumune expression de la forme :J ( x 1 . . .x n , dx 1 . . .dx n).Par souci de simplicité, nous démontrons tout d’abord ce théorèmepour les groupes finis continus.