Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 105formé les transformations infinitésimales X k := ∂f∂a k(x; e), on peut donctester de manière directe, effective et finitaire l’essentialité des paramètres,en examinant seulement 20 s’il existe des combinaisons linéairesà coefficients constants entre les colonnes de la matrice ∂f i∂a k(x; e).Définition. On dira que r champs de vecteurs quelconques (qui neproviennent pas forcément d’un groupe de transformations) à coefficientsanalytiques X k = ∑ ni=1 ξ ki(x) ∂∂x i, k = 1, . . .,r, sont indépendantss’ils sont linéairement indépendants, à savoir, s’il n’existe pas deconstantes λ 1 , . . .,λ r non toutes nulles telles que λ 1 X 1 + · · ·+λ r X r ≡0.Ainsi un groupe dont les paramètres sont essentiels donne-t-ilnaissance à une collection de transformations infinitésimales indépendantes.Question. Réciproquement, peut-on reconstituer le groupe de transformationsx ′ = f(x; a 1 , . . .,a r ) à partir des r transformations infinitésimalesX 1 , . . .,X r qui donnent toutes les directions de mouvementinfinitésimal possible, lorsqu’on fait subir un incrément infinitésimal(e 1 , . . .,e k + ε, . . ., e n ) à la k-ième coordonnée du paramètre-identité ?Principe de retour en arrière de la genèse : on sait bien que la théoriede l’intégration permet de reconstituer le fini à partir de l’infinitésimal.Cette question en soulève d’autres. Comment intégrer un systèmei = 1, . . .,n. En remplaçant maintenant chacune des dérivées partielles ∂x′ i∂a kvaleur déduite des équations différentielles fondamentales (5), on obtient :r∑ r∑(0 ≡ τ k (a)ψ kj (a)ξ ji x ′ (x; a) )(i =1··· n).j=1 k=1par saEnfin, en posant a = e dans ces équations, en rappelant ψ kj (e) = −δ j k, et en introduisantles constantes λ j := ∑ rk=1 τ k(e)ψ kj (e) = −τ j (e) qui ne sont pas toutes nullespar hypothèse, on en déduit des équations :0 ≡ λ 1 ξ 1i (x) + · · · + λ r ξ ri (x) (i =1··· n)qui montrent que les champs de vecteurs X k ne sont pas linéairement indépendants.20 C’est donc un exemple d’irréversible-synthétique : pour un groupe de transformations,on contourne ainsi l’infinité potentiellement imparcourable de toutes les vérificationsqui seraient a priori nécessaires en toute généralité afin de connaître le ranggénérique exact de la matrice jacobienne JacF ∞ , dont les colonnes sont en nombreinfini. La généralité initiale du concept d’essentialité des paramètres se transforme enun critère concret, calculable et effectif.