Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

142 3.8. Équations de structurex ′ i = f i (x 1 , . . .,x n , a 1 , . . ., a r ) représentent un groupe continude transformations à r paramètres essentiels. Ce groupe contient latransformation identique et pour chacune de ses transformations, ilcontient aussi la transformation inverse ; il est engendré par les ∞ r−1tranformations infinitésimales :λ 1 X ′ 1(f) + · · · + λ r X ′ r(f),où λ 1 , . . .,λ r désignent des constantes arbitraires. En introduisant desnouveaux paramètres à la place des a k , les équations du groupe peuventdonc être rapportées à la forme :x ′ i = x i +r∑λ k ξ ki (x) +k=1∑1...rk, jλ k λ j1 · 2 X j(ξ ki ) + · · · (i = 1 ··· n).Démonstration. Il est clair que le système d’équations aux dérivéespartielles d’ordre un :Ω j (F) = X ′ j(F) + A j (F) = 0(j =1··· r),est complet, puisque les hypothèses garantissent que l’on a des relationspar paires de la forme :(Ω k Ωj (F) ) (− Ω j Ωk (F) ) r∑= c kjs Ω s (F),et ce système est indépendant, puisque l’hypothèse d’invertibilité de lamatrice ˜ψ kµ garantit que les équations Ω 1 (F) = 0, . . ., Ω r (F) = 0 sontrésolubles par rapport à ∂F∂a 1, . . ., ∂F∂a r.Maintenant, soit a 0 1 , . . ., a0 r un système de valeurs des a dans unvoisinage duquel les fonctions ˜ψ jk (a) se comportent régulièrement.D’après le Théorème p. 130 de Clebsch-Lie-Frobenius, le système completΩ j (F) = 0 possède n solutions F 1 (x ′ , a), . . .,F n (x ′ , a) qui se réduisentà x ′ 1 , . . .,x′ n (respectivement) pour a k = a 0 k . Imaginons maintenantque ces solutions générales sont données, formons les n équations :x i = F i (x ′ 1 , . . .,x′ n , a 1, . . .,a r )s=1(i =1··· n),et résolvons-les par rapport à x ′ 1, . . .,x ′ n, ce qui est toujours possible,puisque F 1 , . . .,F n sont évidemment indépendantes l’une de l’autre,pour autant que seules les variables x ′ 1 , . . .,x′ n sont concernées. Leséquations obtenues de cette manière :x ′ i = f i(x 1 , . . .,x n , a 1 , . . .,a r ) (i =1··· n)