Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

48 1.19. Courbure sectionnelle de Riemann-Christoffel-Lipschitz0 des coefficients g i,j (x) de la métrique :g i,j (x) = δ i,j + 1 2n∑k,l=1∂ 2 g i,j∂x k ∂x l(0) x k x l + · · · ,supprime tous les termes ∂g i,j∂x k(0) d’ordre 1 et fait apparaître des termesd’ordre deux :R i,j; k,l := 1 ∂ 2 g i,j(0)2∂x k ∂x lqui satisfont les relations de symétrie indicielle évidentes 88 :R i,j;k,l = R j,i;k,l = R i,j;l,kainsi que les symétries indicielles non triviales :(i) R i,j; k,l = R k,l;i,j(ii) R i,j; k,l + R i,l;j,k + R i,k; l,j = 0.Alors dans ces conditions, le développement de Taylor à l’ordre deux dela métrique quadratique infinitésimale :n∑g i,j (x) dx i dx j = dx 2 1 + · · · + dx2 n +i,j=1+ 1 3n∑n∑i,j=1 k,l=1R i,j;k,l(xi dx k − x k dx i)·(xj dx l − x l dx j)peut être réécrit, à un facteur 1 près, comme une forme quadratique à3coefficients R i,j;k,l sur les coordonnées plückériennes :∣ x ∣i 1dx i1∣∣∣= xx i2 dxi1 dx i2 − x i2 dx i1 (1 i 1 < i 2 n)i2du 2-plan engendré par les deux éléments infinitésimaux (x 1 , . . .,x n ) et(dx 1 , . . .,dx n ).Précisions l’interprétation géométrique. Riemann s’imagine un triangleinfiniment petit variable (et surprenant) dans lequel non seulement(dx 1 , . . .,dx n ), mais encore (x 1 , . . ., x n ) sont des quantités infinitésimales.Si l’on note donc ce deuxième élément infinitésimal88 — puisque g i,j = g j,i et que les deux dérivées partielles∂∂x k,∂∂x lcommutent.