Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 2. La mobilité helmholtzienne de la rigidité 57On a donc affaire à une théorie essentiellement active de la mesurequi semble s’imaginer comme absolument nécessaire un sujet porteurmuni de règles et de réglettes, forcé de parcourir l’espace, depuisses dimensions microscopiques jusqu’à ses dimensions astronomiques,afin de s’assurer par des moyens rigoureusement élémentaires que lesdistances relatives entre certains villages, que la superficie d’un appartement,que les dimensions d’un meuble à la vente, ou celles d’une boîteà bijoux, sont exactes au mètre près, au centimètre près, au millimètreprès 10 .Argument surprenant s’il en est : Helmholtz écarte la rectilinéaritédes rayons de lumière comme principe de référence pour la mesure,parce que les aveugles à qui les vérités de la géométrie sont bienconnues n’ont accès qu’aux congruences.Donc je suppose dès le début que la mesure de l’espace soit possiblepar des congruences déterminées et je me propose comme but latâche de rechercher la forme analytique la plus générale d’une variétémultiplement étendue dans laquelle soient possibles les mouvementsayant la constitution ainsi demandée. [76], p. 41.En fait, Helmholtz délimite pour ses recherches un objectif encore plusciblé, moins susceptible de l’exposer à l’inattendu mathématique : ilcherche en effet à formuler des hypothèses physiquement évidentes(qu’on appellerait aujourd’hui axiomes) afin de retrouver seulementl’espace euclidien tridimensionnel comme concept compris sous de telsaxiomes. Approche axiomatique ou recherche d’un théorème d’unicité ?L’ambiguïté est réelle, d’autant plus que la mise au point d’hypothèsesspécifiques qui impliquent l’euclidéanité sera complètement absorbée10 Ce point vue qui s’imagine une universalisation possible de l’empiricité archaïqueest à distinguer nettement du point de vue de Riemann, pour lequel la métriqueest intrinsèquement donnée dans l’infinitésimal et ne nécessite aucun parcours,ni même aucun acte de mesure — si ce n’est pour estimer mathématiquement,par intégration, la longueur d’une ligne courbe finie — puisque chaquedifférentielle infinitésimale dx est d’emblée accompagnée de sa longueur attitrée( ∑ ni,j=1 g ) 1/2.ij(x)dx i dx j Point crucial : aucun déplacement de corps ou de régletten’est requis. Plus précisément : dans toute métrique riemannienne ou finslérienne,l’essence métrique est déjà décalquée sur l’étendue comme le serait une infinitéd’étiquettes millimétriques disposées en tout point, et dans toutes les directionsissues d’un point. Mariage entre l’intrinsèque pur et le champ physique possible : « Ilfaut donc, ou que la réalité sur laquelle est fondé l’espace forme une variété discrète,ou que le fondement des rapports métriques soit cherché en dehors de lui, dans lesforces de liaison qui agissent en lui » ([133], p. 297).