Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

202 Division V. Chapitre 20. § 87.de points supérieur à deux ne possède aucun invariant essentiel relativementau groupe (44).On doit encore mentionner que le groupe (45) ne laisse en généralinvariante aucune famille de ∞ 1 surfaces (voir Tome II, loc. cit.).Sixième casLorsque le groupe réduit : X 1 f . . .X 6 f a la forme (VI), p. 199, legroupe : X 1 f . . .X 6 f est nécessairement de la forme :{ϕ r, p + ϕ1 r, q + ϕ 2 r, 2xp + yq + ϕ 3 r,(50)xq + ϕ 4 r, x 2 p + xyq + ϕ 5 r,où ϕ, ϕ 1 , . . .,ϕ 5 sont des fonctions de x, y, z.Exactement comme aux pages 157 sq. 30 , on peut parvenir à ce queϕ = 1, ϕ 1 = 0, ϕ 2 = Cx ; alors en même temps, les fonctions ϕ 3 , ϕ 4 etϕ 5 sont certainement toutes indépendantes de z.Pour la détermination de ϕ 3 (x, y), formons les crochets :[p, 2xp + yq + ϕ3 r ] = 2 p + ∂ϕ 3∂x r[q + Cxr, 2xp + yq + ϕ3 r ] ( ∂ϕ3)= q +∂y − 2Cx r,qui donnent :∂ϕ 3∂x = D, ∂ϕ 3∂y= 3 Cx + E,d’où : C = 0 et ϕ 3 = D x + E y + H, où la constante H peut être simplementsupprimée 31 , tandis que les constantes D et E sont ramenées àzéro lorsqu’on introduit : z − 1 Dx − Ey comme nouvelle variable z.2Nous avons donc maintenant ramené les quatres premières transformations(50) à la forme simplifiée :p, q, r, 2 xp + yq.En calculant les crochets de xq + ϕ 4 (x, y) r avec p et avec q, onvérifie que ϕ 4 a la forme : ϕ 4 = Lx+My, où la constante d’intégration(superflue) a déjà été supprimée 32 . En outre, on obtient :[2xp + yq, xq + (Lx + My) r]= xq + (2Lx + My) r,30 Voir la note de rappel au début de l’étude du cinquième cas.31 — en soustrayant Hr à la transformation infinitésimale 2xp + yq + ϕ 3 r.32 — à nouveau, en soustrayant un multiple de la transformation r.