Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Critique des recherches helmholtziennes. 223Conséquences des axiomes helmholtziens.Le premier des axiomes helmholtziens exprime simplement queles mouvements continus sont possibles et il détermine ce qui doit êtreentendu en général par « mouvement continu ».Lorsqu’on considère un mouvement de l’espace n fois étendu, ons’imagine de la manière la plus commode deux espaces n fois étenduscontenus l’un dans l’autre, dont l’un est fixe, et l’autre mobile 1 ;la nature particulière du mouvement considéré spécifie alors de quellemanière les points individuels de l’espace en mouvement modifient leursituation à l’intérieur de l’espace fixe. Maintenant, l’Axiome I demandeque chaque mouvement soit accompagné d’une modification continuedes coordonnées du point qui se déplace. Par conséquent, si nous nousimaginons un mouvement quelconque qui commence pour le tempst = 0 et qui est continuel pendant un certain temps t, et si nous admettonsqu’un point quelconque de l’espace mobile a les coordonnéesx 1 , . . .,x n au temps t = 0 par rapport à l’espace fixe, et qu’il a les coordonnéesx 1 , . . .,x n au temps t, alors notre mouvement sera représentépar des équations de la forme :(1) x ν = F ν(x1 , . . .,x n , t ) (ν = 1 ···n),qui pour t = 0 se réduisent aux équations : x ν = x ν ; avec cela, les F νsont des fonctions réelles de leurs arguments.Ainsi, nous voyons que chaque mouvement continu de l’espace nfois étendu fournit une famille continue de ∞ 1 transformations ponctuellesréelles, et pour préciser, une famille dans laquelle est contenuela transformation identique.Pour ce qui touche à la nature des fonctions F ν , remarquons queMonsieur de Helmholtz présuppose en tout cas l’existence des quotientsdifférentiels du premier ordre par rapport à x et à t ; cela découle déjàde l’Axiome I, bien que ce ne soit pas énoncé avec toute la certitudedésirable, mais cela devient indubitable lorsqu’on envisage les calculssitués aux pages 202–206 de son travail. À cet endroit-là, Monsieur deHelmholtz utilise par ailleurs aussi l’existence de certains quotients différentielsdu second ordre, lorsqu’il différentie notamment d’abord parrapport à x et ensuite par rapport au paramètre présent, ce qui correspondraitau fait que les quotients différentiels des F ν par rapport à xsont différentiables de leur côté par rapport à t.1 En dimension deux, l’espace fixe sera une grande région rectangulaire et planaire,tandis que l’espace mobile, superposé tel une nappe liquide, glissera de partoutes ses parties, d’un seul tenant, avec des franges libres.