Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

40 1.17. Genèse des métriques riemanniennesEn effet, Riemann ne se sert en fait de son hypothèse mystérieuse(demandant que chaque ligne puisse être mesurée par toute autre ligne)que pour en déduire que la longueur d’un multiple entier fini k dx de dxest égale à k fois la longueur de dx 77 , et aussi en même temps, que lalongueur de −dx 78 s’identifie à la longueur de dx.Ensuite, par un argument de continuité qui pourrait consister àfaire tendre k vers l’infini tout en rapetissant dx afin que k dx demeureune quantité infinitésimale, Riemann semble en déduire que la fonctionΩ(x; dx) pourra être n’importe quelle fonction homogène du premierdegré en dx, à savoir qui satisfait 79 :Ω(x; λ dx) = |λ| Ω(x; dx),pour tout nombre réel fini λ. Or cette nouvelle conclusion provisoirene nécessite absolument pas que les rapports métriques soient euclidiensdans l’infinitésimal. En effet, cette propriété demande seulementque les longueurs se dilatent dans l’infinitésimal de manière purementhomothétique — exigence minimale qui laisse encore disponible unetrès grande généralité. On peut donc dire qu’à cet endroit-là (bien qu’ilsemble en avoir été clairement soucieux), Riemann n’a pas réellementpris le temps de resserrer les hypothèses minimales qui conduisent auxmétriques dites de Finsler, nettement plus générales que les métriquesriemanniennes (voir [154, 28, 6]).La poursuite du raisonnement marque alors un revirement inattendude la spéculation, puisqu’après fixation d’un point-origine(x 0 1 , . . .,x0 n ), Riemann cherche maintenant une fonction non infinitésimaledu lieu :Ω ( )x 1 , . . .,x n ; x 0 1, . . .,x 0 ndont les ensembles de niveau {x : Ω(x; x 0 ) = const.} s’identifient auxlieux équidistants de l’origine. En fait, ce retour au niveau macroscopiquelocal fini va permettre de se rapprocher en pensée des différentiellesquadratiques qui généralisent les métriques gaussiennes, car il77 — en effet, k dx s’obtient en mettant bout à bout k copies de dx dans la mêmedirection que le dx de départ (voir le diagramme), et chacune de ces copies est toutsimplement obtenue par une translation parallèle à dx dans le voisinage infinitésimalde x —78 — qui se déduit de dx par une transformation euclidienne standard, la symétrieorthogonale par rapport à l’hyperplan orthogonal à dx, —79 Riemann sous-entend intuitivement qu’une telle fonction est en quelque sortesemi-explicite, voire localement développable en série entière par rapport à dx, puisqu’ilse la représente comme une fonction homogène du premier degré en les quantitésdx « dans laquelle les constantes arbitraires seront des fonctions continues de x ».