Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Remarques préliminaires 163lui « demande d’en accepter moins que ce que l’on présuppose dans lesdémonstrations géométriques que l’on conduit ordinairement ». Maiscette affirmation est totalement fausse, d’autant plus que les autresaxiomes helmholtziens renferment des présuppositions superflues.Un progrès supplémentaire en comparaison avec Riemann consisteen ce que M. de Helmholtz opère directement avec la famille des mouvementsde l’espace, tout en l’interprétant comme famille des transformationsde la variété numérique concernée ; il exécute même unefois deux tels mouvements l’un après l’autre et il met à profit le faitque ces deux mouvements pris ensemble peuvent être substitués à untroisième mouvement ; il fait donc en quelque sorte usage des caractérististiquesde type « groupe » que possèdent les mouvements, sanscependant connaître le concept général de groupe.Même si le travail de Helmholtz, quant à ses hypothèses, marqueun certain progrès par rapport aux recherches plus anciennes deRiemann, on ne doit cependant pas ignorer que le travail de Riemannne lui cède en rien quant à la valeur mathématique. En effet, tandis qu’ils’est avéré que la méthode esquissée par Riemann pouvait réellement sedéduire des propositions énoncées par lui, nous verrons ultérieurementque les ressources analytiques dont Monsieur de Helmholtz s’estservi ne sont pas suffisantes pour atteindre l’objectif, et qu’au coursde ses recherches, Monsieur de Helmholtz introduit toute une séried’hypothèses incorrectes.Si nous embrassons les pensées communes qui se trouvent au fondementdes considérations de Riemann et de M. de Helmholtz, nouspouvons dire que les deux chercheurs ont posé un problème de typenouveau, quoiqu’ils ne l’aient fait que de manière implicite, problèmeque nous souhaitons appeler « Problème de Riemann-Helmholtz * », etqui peut s’énoncer brièvement comme suit : Trouver des propriétés quipermettent de distinguer non seulement la famille des mouvements euclidiens,mais aussi les deux familles de mouvements non-euclidiens,et grâce auxquelles ces trois familles apparaîtront alors comme remarquablespar rapport à toutes les autres familles de mouvements d’unevariété numérique.*Au fond, le problème provient plutôt véritablement de Riemann lui-même. Nouscroyons cependant que notre appellation du problème est tout à fait légitime, car M. deHelmholtz est le premier à avoir révélé que le problème n’avait pas du tout été résolupar la théorie de Riemann. Une formulation véritable du problème n’a été fournie paraucun des deux auteurs.