Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 2. La mobilité helmholtzienne de la rigidité 552.3. Rendre objectives les propositions de la géométrie. Selon Lie 6 , lemérite principal de Helmholtz par rapport à Riemann est d’avoir expressémentconstruit la géométrie en stipulant un certain nombre d’axiomes(non problématisants) qui se rapportent à des collections de points finimentéloignés les uns des autres, sans utiliser la notion d’élémentd’arc infinitésimal, et sans admettre de pouvoir disposer de la théoriede l’intégration. Autre mérite de cette méthode neuve : Helmholtz estle premier à avoir opéré avec la famille des mouvements de l’espace(à trois dimensions), tout en l’interprétant comme famille de transformationsde la variété numérique sous-jacente. On trouve en effet chezHelmholtz les tous premiers concepts embryonnaires pour l’édificationd’une théorie mathématique des groupes de mouvements dans l’espace,et il est très probable que son mémoire a été la pierre angulaire d’inspiration,de motivation, et de problématisation lorsque, deux ou trois annéesplus tard, Klein et Lie collaborèrent à l’élaboration du Programmed’Erlangen ([86])Fortement stimulé par la publication posthume très récente del’Habilitationsvortrag de Riemann 7 , Helmholtz déclare dans son mémoire[73] de juin 1868 qu’il conduit en privé depuis de nombreusesannées des réflexions techniques sur la notion d’« espace ». Il se féliciteaussi de trouver comme compagnon de pensée, dans ces investigationsdélicates sur les fondements de la géométrie, un mathématicien de l’envergurede Riemann, et il propose de présenter à la königlische Gesellschaftder Wissenschaften zu Göttingen un système alternatif d’axiomesafin de développer une autre vision du problème mathématique de l’espace.Pour Helmholtz qui a travaillé sur la physiologie et l’anatomie del’œil, la question de l’origine et de la nature essentielle de nos intuitionsgénérales de l’espace est primordiale. Plus précisément, il s’agitde déterminer dans quelle mesure les propositions de la géométrie possèdentun sens qui est objectivement valide. Et à l’opposé, il s’agit desavoir aussi quelle est la fraction des définitions et des conséquencesdes définitions qui dépend seulement de l’abstraction des descriptionsmathématiques. Ces deux questions helmholtziennes ne peuvent certainementpas recevoir de réponse simple, car il y a un cercle mystérieux6 En parallèle, le lecteur pourra découvrir les Remarques préliminaires à la DivisionV, traduites en français p. 159 sq. ci-dessous.7 En fait, il obtint une copie des notes manuscrites que Schering avait prises surle travail de Riemann. Schering s’est vu attribuer la chaire de Riemann en 1866.